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■51958 / inTopicNo.1)  確率の不等式
  
□投稿者/ 中国 一般人(1回)-(2022/09/28(Wed) 21:50:48)
    0<p<1, nは正の整数
    のとき
    (1-p)^n p / (1-(1-p)^(2n+1)) <1/(2n+1)
    の証明をご教示下さい.
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■52440 / inTopicNo.2)  Re[1]: 確率の不等式
□投稿者/ WIZ 一般人(19回)-(2024/01/07(Sun) 14:23:52)
    べき乗演算子^は四則演算子より優先度が高いものとします。
    ((1-p)^n)p/{1-(1-p)^(2n+1)} < 1/(2n+1)の証明と解釈して回答します。

    q = 1-pとおくと、0 < q < 1です。

    ((1-p)^n)p/{1-(1-p)^(2n+1)}
    = (q^n)(1-q)/{1-q^(2n+1)}
    = (q^n)/{Σ[k=0,2n]{q^k}}
    = 1/{Σ[k=-n,n]{q^k}}
    = 1/{q^0+Σ[k=1,n]{q^(-k)+q^k}}

    0 < q^(-k)かつ、0 < q^kなので、相加平均と相乗平均の大小関係より、
    q^(-k)+q^k ≧ 2√{(q^(-k))(q^k)} = 2

    但し、0 < q < 1とkは自然数より、q^(-k) ≠ q^kなので上記不等式の等号は成立しません。
    よって、q^(-k)+q^k > 2です。

    以上から、
    q^0+Σ[k=1,n]{q^(-k)+q^k} > 1+Σ[k=1,n]{2} = 2n+1
    となり、題意は成立すると言えます。
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