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■51904 / inTopicNo.1)  代数学の問題
  
□投稿者/ Milo 一般人(1回)-(2022/06/29(Wed) 18:37:30)
    大学数学の代数学の問題です。ご協力お願いしたいです。

    問題T :={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}⊂Zを法10に関する完全代表系として固定する。数字「0」を x ∈ Z とする。
    任意の 0 ≤ i ≤ 9 に対して、法 10 に関して x + i と合同な T の元を ai とする.また,ai の法 10 に関す る剰余類を ai ∈ Z/10Zとおく.(Z/10Z)^× を Z/10Z の既約剰余類群とする.
    (1) 各0 ≤ i ≤ 9に対して,ai を求めよ.
    (2) 加法群 Z/10Z において,ai の位数が 1 となる i をすべて求めよ.
    (3) 加法群 Z/10Z において,ai の位数が 5 となる i をすべて求めよ.
    (4) ai ∈ (Z/10Z)^×となる i をすべて求めよ.
    (5) 乗法群 (Z/10Z)^× において,ai の位数が 1 となる i をすべて求めよ.
    (6) ai が乗法群 (Z/10Z)^× の生成元となるような i をすべて求めよ.
    (答のみでよい.)
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■51906 / inTopicNo.2)  Re[1]: 代数学の問題
□投稿者/ マシュマロ 一般人(21回)-(2022/06/30(Thu) 08:00:42)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは^^

    数字0をxとするという部分の意味がちょっとわかりにくいのですが、
    同値類の元の一つということなら、10nの形の数ということかもしれません。

    そうだとするとx=10nを足しても剰余類としては変わらないので、
    (1)はai=i(0≦i≦9)ですね。
    また位数1というのは単位元なので、(2)はi=0です。

    位数5は5倍してはじめて10の倍数になる数なので、(3)は0以外の偶数、すなわち2,4,6,8ですね。

    (4)は10と互いに素な数なので1,3,7,9です。

    (5)はそのうちの(乗法に関する)単位元なので1ですね。

    またこの乗法群において1の位数は1,9の位数は2,また3と7の位数は4なので、(6)の答えは位数が4となる3,7になります。

    ということで、ご参考になれば幸いです。
    ではでは☆

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