数学ナビゲーター掲示板

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■51895 / inTopicNo.1)  連続関数と有理数と代数的無理数と超越数
  
□投稿者/ 福澤 一般人(1回)-(2022/06/24(Fri) 22:03:09)
    f(x)は実数から実数への連続関数で
    任意の有理数xに対してf(x)は有理数、
    任意の無理数xに対してf(x)は無理数、
    を満たすようなものとします。

    このようなf(x)のうち、
    少なくとも1つの代数的無理数αに対してf(α)が超越数となる
    ようなものの例を何か教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■51896 / inTopicNo.2)  Re[1]: 連続関数と有理数と代数的無理数と超越数
□投稿者/ マシュマロ 一般人(18回)-(2022/06/25(Sat) 02:28:45)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは^^

    これは面白い問題ですね。
    たとえばこんな関数はどうでしょうか。


    f(√2)=eとし、x≦0およびx≧4ではf(x)=xとします。

    以下、残りの部分を定義していきます。まず、

    @ m/2^k(m,kは非負整数)

    の形の数のうち√2を超えない最大のものをP(k)とし、
    各P(k)のうち重複するものを除いてn番目に小さい数をA(n)とおきます。

    また@の形の数のうち√2より大きい最小の数をQ(k)とし、
    そのうち重複するものを除いてn番目に大きい数をB(n)とおきます。

    eについても同様に、@の形の数のうちeを超えない最大の数をR(k)とし、
    そのうち重複するものを除いてn番目に小さい数をC(n)とおきます。

    さらに、@の形の数のうちeより大きい最小の数をS(k)とし、
    そのうち重複するものを除いてn番目に大きい数をD(n)とします。

    区間[0,A(1)]においてはfをf(0)=0,f(A(1))=C(1),となる1次関数とし、
    [A(1),A(2)]においてはf(A(1))=C(1),f(A(2))=C(2)となる1次関数とします。

    以下同様に、[A(r),A(r+1)]においては
    f(A(r))=C(r),f(A(r+1))=C(r+1)となる1次関数として定義していきます。

    また区間[B(1),4]においてはf(B(1))=D(1),f(4)=4となる1次関数とし、
    [B(2),B(1)]においてはf(B(2))=D(2),f(B(1))=D(1)となる1次関数とします。

    以下同様に、[B(r+1),B(r)]においては
    f(B(r+1))=D(r+1),f(B(r))=D(r)となる1次関数として定義していきます。


    以上でfが定義できました。
    区分けして定義した各区間においてfは有理数係数の(定数ではない)1次式になっているので
    有理数に対しては有理数,無理数に対しては無理数の値をとります。
    しかもf(√2)の値eは超越数です。


    ということで、一応例が示されたのではないかと思います。
    以上の内容がご参考になれば幸いです。
    ではでは☆
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■51898 / inTopicNo.3)  Re[2]: 連続関数と有理数と代数的無理数と超越数
□投稿者/ 福澤 一般人(2回)-(2022/06/25(Sat) 18:35:02)
    興味深い構成方法で驚きました。
    ありがとうございました。
解決済み!
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/



トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

Mode/  Pass/

HOME HELP 新規作成 新着記事 ツリー表示 スレッド表示 トピック表示 発言ランク ファイル一覧 検索 過去ログ

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター