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■51863 / inTopicNo.1)  複素数の問題
  
□投稿者/ なにぬせの 一般人(1回)-(2022/06/05(Sun) 23:32:19)
    よろしくお願いします。
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■51865 / inTopicNo.2)  Re[1]: 複素数の問題
□投稿者/ マシュマロ 一般人(4回)-(2022/06/06(Mon) 21:05:39)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    こんにちは☆

    見たところ、条件が「あるzについて、wが外接円上にある」という意味ならば
    述べられている結論は成り立たないようなので、
    題意としては「α,β,zが三角形の位置をなす任意のzについて」
    wが外接円上にあるという意味だと推測されます。
    そのような意味であるとして考えてみました。

       *****

    α,β,z,wが共円なので、∠αwβ=∠αzβまたは
    ∠αwβ+∠αzβ=πです。
    これらの条件は

    (w−α)/(w−β)=r(z−α)/(z−β) (r:実数)

    と表されます。分母をはらうと

    (w−α)(z−β)=r(z−α)(w−β)

    整理すると

    [r(z−α)−(z−β)]w=rβ(z−α)−α(z−β)

    ここで、w=f(z)=(az−b)/(z+a−c)を
    上式に代入して分母をはらうと

    @ [r(z−α)−(z−β)](az−b)
       =[rβ(z−α)−α(z−β)](z+a−c)

    左辺−右辺はzの2次式で、これが恒等的に0になることから
    2次の係数も0です。すなわち

    (r−1)a−(rβ−α)=0

    r=1ならα=βとなって仮定に反するのでr≠1です。

    よって上式から

    a=rβ/(r−1)−α/(r−1)

    となります。この式はaがα,βを結んだ直線上にあることを示しています。
    (sα+tβ,s+t=1の形なので、
    ベクトルとして見ると直線上にあることが明らかです)

       *****

    これで一応示せているとは思いますが、f(α)=α,f(β)=βの
    条件は不必要なので、不可解です。

    かといって、「あるzについてwが外接円上にある」というのでは
    rが直線αβ上になくても2次方程式@の解となるzについては
    条件が満たされることになります。

    もしかすると私が何か勘違いしているのかもしれませんが、
    一応、上のような解答を考えてみました。
    ご参考になれば幸いです。
    ではでは☆

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■51867 / inTopicNo.3)  Re[2]: 複素数の問題
□投稿者/ マシュマロ 一般人(5回)-(2022/06/06(Mon) 21:34:03)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    下から6行目の冒頭は

    rが → aが

    でした。
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■51869 / inTopicNo.4)  Re[1]: 複素数の問題
□投稿者/ マシュマロ 一般人(6回)-(2022/06/09(Thu) 23:27:49)
http://www.youtube.com/channel/UCHRwEUVvKzCUqRDRYpKam6A
    すみません、訂正です。
    @式の左辺−右辺は2次の係数×(z−α)(z−β)となるので、
    z≠α,βの仮定から「あるzについて題意の条件が成り立てば」
    rは直線αβ上にあるといえます。

    不動点α,βはf(z)=zを満たすので、分母を払って整理すると
    z^2−cz+b=0の2根となります。
    よって解と係数の関係から
    α+β=c,αβ=bとなり、これを使って@の左辺−右辺を計算すると
    上のようになります。

    問題は間違っていませんでした(汗


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