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■51834 / inTopicNo.1)  2023
  
□投稿者/ よぎぼー 一般人(1回)-(2022/04/09(Sat) 10:21:34)
    20a^2+2b^2+3c^2=2023
    を満たす正の整数a,b,cを求めよ。

    この問題を教えて下さい。
    mod10で考えればよいのでしょうか?
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■51835 / inTopicNo.2)  Re[1]: 2023
□投稿者/ らすかる 一般人(12回)-(2022/04/09(Sat) 12:43:19)
    k^2を3で割った余りは、kが3で割り切れるとき0、割り切れないとき1
    aもbも3で割り切れるとき、左辺が3の倍数となり不適
    aとbのうちどちらか一つのみ3で割り切れるとき、左辺を3で割った余りが2となり不適
    従ってaとbは両方とも3で割り切れない … (1)

    cが偶数だと左辺が偶数になって成り立たないのでcは奇数
    このとき3c^2≡3(mod4)なので20a^2+2b^2≡0(mod4)
    よってbは偶数
    b=2m, c=2n-1を代入して整理すると
    5a^2+2m^2+3n(n-1)=505 … (2)
    n(n-1)は偶数なのでaは奇数 … (3)
    a≧11だと(左辺)>605となって不適なのでa<11
    (1)(3)からaは3で割り切れない奇数なので、a=1,5,7

    a=1のとき(2)からm^2+3n(n-1)/2=250
    a=5のとき(2)からm^2+3n(n-1)/2=190
    a=7のとき(2)からm^2+3n(n-1)/2=130
    いずれも(右辺)≡2(mod4)
    m^2≡0,1(mod4)なので3n(n-1)/2≡1,2(mod4)
    k≡0,1,2,3(mod4)に対して順に3k≡0,3,2,1なので
    n(n-1)/2≡2,3(mod4)
    n(n-1)/2はn=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13に対して
    0,1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78
    (n≧14のとき3n(n-1)/2≧273>250なので不適)
    このうちmod4で2,3となるものは
    n=3,4,5,6,11,12,13に対する
    3,6,10,15,55,66,78
    よってn=3,4,5,6,11,12,13に対して3n(n-1)/2は
    9,18,30,45,165,198,234
    250,190,130から引くと順に
    250-3n(n-1)/2=241,232,220,205,85,52,16
    190-3n(n-1)/2=181,172,160,145,25 (以降負)
    130-3n(n-1)/2=121,112,100,85 (以降負)
    このうち平方数になるのは16,25,121,100であり
    (a,m,n)=(1,4,13),(5,5,11),(7,11,3),(7,10,5)
    b=2m,c=2n-1により
    (a,b,c)=(1,8,25),(5,10,21),(7,22,5),(7,20,9)
    の4つが条件を満たす解。

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■51839 / inTopicNo.3)  Re[2]: 2023
□投稿者/ よぎぼー 一般人(2回)-(2022/04/10(Sun) 20:17:22)
    ありがとうございました!
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