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■51817 / inTopicNo.1)  y=e^xの法線
  
□投稿者/ 指数関数 一般人(1回)-(2022/03/06(Sun) 01:31:38)
    xy平面の曲線y=e^x上の相異なる2点それぞれにおける法線の交点が
    y>e^xで表される領域に含まれるか計算で確認しようとしています。

    2本の法線の交点のx座標をeの肩に乗せたあたりから
    非常に雲行きが怪しくなってくるのですが、
    どのように考えるとその後上手くいくか教えて下さい。

    よろしくお願いします。
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■51818 / inTopicNo.2)  Re[1]: y=e^xの法線
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2022/03/06(Sun) 02:06:56)
    グラフの形とか考えずに、交点の座標をy>e^xに代入すると
    成り立つということを示したいということでしょうか。
    それでしたら、
    2点を(p,e^p),(q,e^q)(p<q)とすると
    それぞれの法線は
    y=-(x-p)/e^p+e^p と y=-(x-q)/e^q+e^q
    yを消去して整理すると
    x=p-(q-p)e^p/(e^q-e^p)-e^(p+q)
    これをy=-(x-p)/e^p+e^pに代入してy座標を求めると
    y=(q-p)/(e^q-e^p)+e^p+e^q
    つまり交点の座標(x,y)は
    (x,y)=(p-(q-p)e^p/(e^q-e^p)-e^(p+q),(q-p)/(e^q-e^p)+e^p+e^q)
    (q-p)e^p/(e^q-e^p)>0, e^(p+q)>0なので
    x=p-(q-p)e^p/(e^q-e^p)-e^(p+q)<p
    よってe^x<e^p … (1)
    また(q-p)/(e^q-e^p)>0, e^q>0なので
    y=(q-p)/(e^q-e^p)+e^p+e^q>e^p … (2)
    (1)(2)からy>e^p>e^xなので、交点はy>e^xの範囲にある。

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■51819 / inTopicNo.3)  Re[2]: y=e^xの法線
□投稿者/ 指数関数 一般人(2回)-(2022/03/06(Sun) 08:58:21)
    なるほど!!
    ありがとうございます!
解決済み!
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