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■51808 / inTopicNo.1)  最大公約数
  
□投稿者/ 東工大 一般人(1回)-(2022/02/25(Fri) 14:12:29)
    3つの正の整数a,b,cの最大公約数が1のとき
    a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^3+b^3+c^3
    の最大公約数となる正の整数を全て求めよ。

    この問題を教えて下さい。
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■51809 / inTopicNo.2)  Re[1]: 最大公約数
□投稿者/ らすかる 一般人(5回)-(2022/02/25(Fri) 15:34:20)
    a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)
    a^3+b^3+c^3=(a+b+c){a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)}+3abc
    なので
    a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^3+b^3+c^3の最大公約数は
    a+b+c,2(ab+bc+ca),3abcの最大公約数と同じ

    a+b+c=a+(b+c)
    ab+bc+ca=a(b+c)+(bc)だから
    aとa+b+cとab+bc+caの最大公約数は
    aとb+cとbcの最大公約数と同じ
    もしaとb+cとbcの最大公約数が2以上だとすると、
    aとb+cとbcはいずれもある素因数pで割り切れる。
    bcがpで割り切れるならば、bかcのいずれかはpで割り切れるので
    bがpで割り切れるとする。
    このとき、b+cがpで割り切れることからcもpで割り切れ、
    a,b,cが公約数pを持つことになるので条件に反する。
    よってaとb+cとbcの最大公約数は1なので、
    aとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1。
    同様に、
    bとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1
    cとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1
    となるから、
    abcとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1。
    よってa+b+cと2(ab+bc+ca)と3abcの最大公約数としてあり得るのは
    1,2,3,6。
    (∵a,b,cに偶数が含まれa+b+cが偶数ならすべて2で割り切れ、
    a+b+cとab+bc+caが3の倍数ならばすべて3で割り切れる)
    実際、
    (a,b,c)=(1,1,1)ならば最大公約数は3
    (a,b,c)=(1,1,2)ならば最大公約数は2
    (a,b,c)=(1,1,3)ならば最大公約数は1
    (a,b,c)=(1,1,4)ならば最大公約数は6
    となるので、
    a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^3+b^3+c^3の最大公約数としてあり得るものは
    1,2,3,6。

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■51810 / inTopicNo.3)  Re[2]: 最大公約数
□投稿者/ 東工大 一般人(2回)-(2022/02/25(Fri) 17:55:41)
    ありがとうございます。
解決済み!
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