| a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) a^3+b^3+c^3=(a+b+c){a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)}+3abc なので a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^3+b^3+c^3の最大公約数は a+b+c,2(ab+bc+ca),3abcの最大公約数と同じ
a+b+c=a+(b+c) ab+bc+ca=a(b+c)+(bc)だから aとa+b+cとab+bc+caの最大公約数は aとb+cとbcの最大公約数と同じ もしaとb+cとbcの最大公約数が2以上だとすると、 aとb+cとbcはいずれもある素因数pで割り切れる。 bcがpで割り切れるならば、bかcのいずれかはpで割り切れるので bがpで割り切れるとする。 このとき、b+cがpで割り切れることからcもpで割り切れ、 a,b,cが公約数pを持つことになるので条件に反する。 よってaとb+cとbcの最大公約数は1なので、 aとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1。 同様に、 bとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1 cとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1 となるから、 abcとa+b+cとab+bc+caの最大公約数も1。 よってa+b+cと2(ab+bc+ca)と3abcの最大公約数としてあり得るのは 1,2,3,6。 (∵a,b,cに偶数が含まれa+b+cが偶数ならすべて2で割り切れ、 a+b+cとab+bc+caが3の倍数ならばすべて3で割り切れる) 実際、 (a,b,c)=(1,1,1)ならば最大公約数は3 (a,b,c)=(1,1,2)ならば最大公約数は2 (a,b,c)=(1,1,3)ならば最大公約数は1 (a,b,c)=(1,1,4)ならば最大公約数は6 となるので、 a+b+c,a^2+b^2+c^2,a^3+b^3+c^3の最大公約数としてあり得るものは 1,2,3,6。
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