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■50906 / inTopicNo.1)  jacobson根基の同値な性質について
  
□投稿者/ もけもけ 一般人(1回)-(2021/07/10(Sat) 00:52:42)
    Rのjacobson根基をJ(R)とする。但しここでのjacobson根基の定義は、Rの全ての極大イデアルの共通部分とする。

    この時、rがJ(R)の元であることと、1+〈r〉の任意の元が単元であることが同値であることを示せ。(〈r〉はrで生成される単項イデアルです)

    この問題が分かりません。どなたか解説して頂けませんか?
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■51788 / inTopicNo.2)  Re[1]: jacobson根基の同値な性質について
□投稿者/ nacky 一般人(1回)-(2021/12/22(Wed) 09:40:56)
    背理法を使いましょう.
    r∈J(R), a∈R とし 1+ar が単元でないと仮定して矛盾を導きます.

    1+ar が単元でないのである極大イデアル M が存在して 1+ar∈M が成り立ちます.
    r は J(R) の元なので r∈M です.
    すると 1=(1+ar)-ar∈M となり M が極大イデアルであることに矛盾します.
    よって 1+ar は単元です.
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