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■50780 / inTopicNo.1)  約数
  
□投稿者/ 約数 一般人(1回)-(2021/05/13(Thu) 10:27:10)
    次の条件を満たす最大の自然数nはどうやって求めるのでしょうか?

    条件:n=a+bを満たすいかなる自然数a,bに対しても、必ずσ(a)≦2aまたはσ(b)≦2bが成り立つ。

    ここで、σ(a)はaの正の約数の和です。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■50781 / inTopicNo.2)  Re[1]: 約数
□投稿者/ らすかる 付き人(50回)-(2021/05/13(Thu) 14:50:51)
    ↓こちらのページによると
    ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%8E%E5%89%B0%E6%95%B0
    「20161より大きい整数は2つの過剰数の和で表すことができる。」
    とのことですから、nの最大値は20161ですね。
    この証明を書くには
    「20161より大きい整数は2つの過剰数の和で表すことができる。」

    「20161を2数の和で表したとき、2数のうち少なくとも一つは過剰数でない」
    を証明しなければなりませんね。

    前者は例えば
    n=6k のとき n=12+(6k-12) (※12以上の6の倍数は過剰数)
    n=6k+2 のとき n=20+(6k-18) (※20は過剰数)
    n=6k+3 のとき n=945+(6k-942) (※945は過剰数)
    n=6k+4 のとき n=40+(6k-36) (※40は過剰数)
    n=6k+1のうち
    n=60k+25 のとき n=945+(60k-920) (※20の倍数は過剰数)
    n=60k+55 のとき n=1575+(60k-1520) (※1575は過剰数)
    ・・・
    のように絞っていけば、おそらく証明できると思います。

    後者は20161未満のすべての過剰数を考えて
    20161を2数の和で表すと片方が奇数で片方が偶数
    20161未満の奇数の過剰数はすべて15の倍数で
    20161≡1(mod15)だから、偶数の方はm≡16(mod30)
    よって
    20161未満の奇数の過剰数
    945,1575,2205,2835,3465,4095,4725,5355,5775,5985,6435,6615,6825,
    7245,7425,7875,8085,8415,8505,8925,9135,9555,9765,10395,11025,
    11655,12285,12705,12915,13545,14175,14805,15015,15435,16065,16695,
    17325,17955,18585,19215,19305,19635,19845

    20161未満で30で割って16余る過剰数
    196,636,1036,1236,1696,1896,2176,2316,3016,3156,3496,3576,4216,
    4416,4816,5076,5656,5796,6016,6096,6256,6516,6976,7236,7696,
    7776,8056,8196,8536,8616,9196,9276,9856,10296,10696,10836,11176,
    11556,11956,12396,12796,13176,13456,13656,13816,13956,14416,14496,
    15136,15336,15496,15636,16156,16476,16996,17076,17416,17556,17836,
    18276,18616,18696,19456,19536
    のどれを足しても20161にならないことを示せば証明できますが、
    そもそも上記の過剰数を列挙するだけでも大変ですね。

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■50782 / inTopicNo.3)  Re[2]: 約数
□投稿者/ 約数 一般人(2回)-(2021/05/13(Thu) 19:05:31)
    大変な問題だったのですね…。
    有難うございました。
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