数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / 単位円と三角形 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板

[ 親記事をトピックトップへ ]

このトピックに書きこむ

入力内容にタグは利用できません。

数式の記述方法
TeX入力ができます。 \[ TeX形式数式 \]　あるいは，$ TeX形式数式 $　で数式を記述します。
　TeX形式数式には半角英数字のみです。詳しくは、ここを見てください。
Titleは質問の内容がわかりやすいように書いてください。
他人を中傷する記事は管理者の判断で予告無く削除されます。
半角カナは使用しないでください。文字化けの原因になります。
名前、Title、コメントは必須記入項目です。記入漏れはエラーになります。
入力内容の一部は、次回投稿時の手間を省くためブラウザに記録されます。
削除キーを覚えておくと、自分の記事の編集・削除ができます。
URLは自動的にリンクされます。
引用返信するときは不要な引用部分を削除してください。
記事中に No*** のように書くとその記事にリンクされます(No は半角英字/*** は半角数字)。
- No123 → 記事No123の記事リンクになります(指定表示)。
- No123,130,134 → 記事No123/130/134 の記事リンクになります(複数表示)。
- No123-130 → 記事No123～130 の記事リンクになります(連続表示)。

Name	/
E-Mail	/
└> 関連するレス記事をメールで受信しますか? / アドレス
Title	/
URL	/
Comment/ 通常モード->　図表モード-> (適当に改行して下さい/半角10000文字以内)
File	/ アップ可能拡張子=> /.gif/.jpg/.jpeg/.png/.txt/.lzh/.zip/.mid/.svg 1) 太字の拡張子は画像として認識されます。 2) 画像は初期状態で縮小サイズ250×250ピクセル以下で表示されます。 3) 同名ファイルがある、またはファイル名が不適切な場合、　　ファイル名が自動変更されます。 4) アップ可能ファイルサイズは1回200KB(1KB=1024Bytes)までです。 5) ファイルアップ時はプレビューは利用できません。 6) スレッド内の合計ファイルサイズ:[0/500KB] 残り:[500KB]
Icon	/ (画像を選択/サンプル一覧)
削除キー	/ (半角8文字以内)
解決済み! BOX/ 解決したらチェックしてください!
プレビュー/

■50752 / inTopicNo.1)

　Re[1]: 単位円と三角形

▼■

□投稿者/ 極限一般人(9回)-(2021/04/24(Sat) 03:32:10)

複素数は積・商を忘れてやれば、「2次元の実ベクトル」と見ることもできます。

ベクトルを勉強したときに習ったとおり、直線BC上の点は
tβ + (1-t)γ (ただしtは実数)
とかけます。（ちなみに積を忘れると書いたのは「一般の複素数同士の積」の話で、「実数倍（スカラー倍、実数と複素数の積）」まで忘れると2次元実ベクトルですらなくなります）

この問題では「垂直（垂線）」が登場するので、ベクトルの内積を考えたくなります。
準備として複素数xと複素数yの（実2次元ベクトルしての）内積がどうなるかを確認しましょう。

複素数xを実2次元ベクトルと思うとは、「複素数xを実2次元ベクトル(Re(x), Im(x))と思う」と言い換えることもできます。よってベクトルで習った内積の定義をそのまま適用すれば
x * y = Re(x)Re(y) + Im(x)Im(y)
です。ここで「*」は（複素数の積ではなく）内積を表す記号として使っています。

このままでも別にいいのですが、最終形にReやImのような記号が乱発されるよりは、複素共役の記号で書き直すほうがスッキリすると個人的には感じます。上付きバーが書けないのでここでは複素数xの複素共役をBar(x)とかくことにします。つまり
Bar(x) = Re(x) - iIm(x)
Bar(y) = Re(y) - iIm(y)
です。よって内積は
x * y = (xBar(y) + Bar(x)y) / 2
と書き直されます。

ここまで準備すれば、（計算量はともかく）垂線の足を求めるは簡単です。
先に書いたとおり垂線の足をhとすると、これは直線BC上にあるので
h = tβ + (1-t)γ (tは実数)
という形でかけます。tは内積条件
(α - h) * (β - γ) = 0
から決まるという具合です。

先に準備した複素共役系の内積式を使って計算をすすめていきましょう。
(α - h) * (β - γ) = 0
(α - tβ - (1-t)γ) * (β - γ) = 0
(α - tβ - (1-t)γ)Bar(β - γ) + Bar(α - tβ - (1-t)γ)(β - γ) = 0 (分母の2は払っています)
(α - γ)Bar(β - γ) + Bar(α - γ)(β - γ) = 2t(β - γ)Bar(β- γ) (tを含む項を右辺に。)

これでtは求まったので、hをα,β,γ（とその共役）の形でかけます。思ったより項の数が増えそうなのでここまでにします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■50751 / inTopicNo.2)

　単位円と三角形

▲▼■

□投稿者/ 複素数一般人(1回)-(2021/04/23(Fri) 16:26:43)

絶対値が1の相異なる3つの複素数α,β,γが複素数平面上で表す点をそれぞれA,B,Cとします。
点Aから直線BCにおろした垂線の足に対応する複素数をα,β,γで表すにはどうすればいいのでしょうか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

このトピックをツリーで一括表示

トピック内ページ移動 / << 0 >>

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター