 | 同じ質問者さんかどうか分かりませんが、2021/9/10にYAHOO知恵袋にも同じ質問があり、
「未解決問題に帰着する」というかなり有用なコメントが付いています。
興味深い問題だと思い拡散したいのと、私も少し調べてみたのでコメントさせて頂きます。
[YAHOO知恵袋のコメントの概要]
sとtを互いに素な自然数として r = s/t とする。
s(q+1) = t(p+1) より、ある整数nが存在して p+1 = sn, q+1 = tn
つまり、sn-1 と tn-1 が共に素数でなければならない。
これは未解決問題であるディクソン(Dickson)の予想の特別な場合にあたる。
[私の調べた情報]
ディクソンの予想とは、
「自然数kに対し、a[1], a[2], ・・・, a[k] は自然数、b[1], b[2], ・・・, b[k] は整数とする。
もし「各素数p毎に自然数nが存在して、積 (a[1]n+b[1])*・・・*(a[k]n+b[k]) はpで割り切れない」
が成り立つならば、a[1]n+b[1], ・・・, a[k]n+b[k] が全て素数となるようなnが無数に存在する。」
k = 1, a[1]とb[1]が互いに素ならば、これはディリクレの算術級数定理に他なりません。
また、k = 2, a[1] = a[2] = 1, b[1] = 0, b[2] = 2 ならば、これは双子素数の予想に他なりません。
他の数論関連の定理や予想も含む、非常に一般的な予想と言えます。
質問の件は、k = 2, a[1] = s, a[2] = t, b[1] = b[2] = -1 の場合となります。
この様な特定の場合のみディクソンの予想の成否が証明されている可能性もあります。
# google ai studioにこの質問の問題を尋ねたところ、一度だけシェルピニスキ(Sierpinski)により、
# 「如何なる素数p, qを用いても(p+1)/(q+1)と表せない有理数が存在することが証明されているが、
# 具体的な例は未発見」と答えました。
# ただ、AIの言うことは鵜呑みにできないのと、シェルピニスキという数学者は存在するものの
# ググってもこの証明に関する情報は見つけられなかったので、真偽の程は分かりません。
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