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■50312
/ inTopicNo.1)
不等式
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□投稿者/ グルンカ
一般人(1回)-(2020/04/17(Fri) 22:58:40)
nが2以上の自然数のとき、
Σ[k=1,n-1]1/sin(kπ/n)<n*log(n)
であることの証明を教えて下さい。
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■50313
/ inTopicNo.2)
Re[1]: 不等式
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□投稿者/ らすかる
一般人(24回)-(2020/04/18(Sat) 01:52:47)
0<x<π/2でsinx>(2/π)xが成り立つ。
nが奇数のとき
Σ[k=1〜n-1]1/sin(kπ/n)
=2Σ[k=1〜(n-1)/2]1/sin(kπ/n)
<2Σ[k=1〜(n-1)/2]1/{(2/π)(kπ/n)}
=nΣ[k=1〜(n-1)/2]1/k
<n(∫[1/2〜(n-1)/2+1/2]dx/x)
=n{log(n/2)-log(1/2)}
=nlogn
nが偶数のとき
Σ[k=1〜n-1]1/sin(kπ/n)
=1+2Σ[k=1〜n/2-1]1/sin(kπ/n)
<1+2Σ[k=1〜n/2-1]1/{(2/π)(kπ/n)}
=1+nΣ[k=1〜n/2-1]1/k
<1+n(∫[1/2〜n/2-1+1/2]dx/x)
=1+n{log((n-1)/2)-log(1/2)}
=1+nlog(n-1)
<nlogn (※)
(※)
1+nlog(n-1)<nlognは、
f(x)=xlogx-(1+xlog(x-1))とおくと
f'(x)<0, lim[x→∞]f(x)=0となることから言えます。
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■50314
/ inTopicNo.3)
Re[2]: 不等式
▲
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■
□投稿者/ グルンカ
一般人(2回)-(2020/04/18(Sat) 10:03:39)
ありがとうございます。
全然分からなかったのでとても助かりました。
一行目の不等式がポイントですね。
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