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■47905 / inTopicNo.1)  漸化式
  
□投稿者/ ハイポネックス 一般人(1回)-(2017/03/07(Tue) 14:24:10)
    a[1]=1
    a[2]=1
    a[n+2]=a[n+1](a[n+1]+1)/a[n] (n≧1)
    であるとき、a[n]が自然数であること
    の証明を教えて下さい。お願いします。
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■47906 / inTopicNo.2)  Re[1]: 漸化式
□投稿者/ みずき 一般人(4回)-(2017/03/07(Tue) 16:48:51)
    a[n+2]=4a[n+1]-a[n]-1 (n≧1) が成り立つことを示せば十分。

    帰納法で示す。
    n=1,2 のとき確かに成り立つ。
    n=k-1,k のときに成り立つと仮定すると
    a[k+3]
    =a[k+2](a[k+2]+1)/a[k+1]
    =(4a[k+1]-a[k]-1)(4a[k+1]-a[k])/a[k+1]
    =16a[k+1]-8a[k]-4+a[k](a[k]+1)/a[k+1]
    =16a[k+1]-8a[k]-4+a[k-1]a[k+1]/a[k+1]
    =16a[k+1]-8a[k]-4+a[k-1]
    =16a[k+1]-8a[k]-4+(4a[k]-1-a[k+1])
    =15a[k+1]-4a[k]-5
    =15a[k+1]-4(4a[k+1]-1-a[k+2])-5
    =4a[k+2]-a[k+1]-1
    により n=k+1 のときも成り立つ。
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■47907 / inTopicNo.3)  Re[2]: 漸化式
□投稿者/ ハイポネックス 一般人(2回)-(2017/03/07(Tue) 20:43:42)
    有難うございます!
    a[n+2]=4a[n+1]-a[n]-1 が成り立つなんてとても気づきませんでした。
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■47908 / inTopicNo.4)  Re[1]: 漸化式
□投稿者/ WIZ 一般人(1回)-(2017/03/08(Wed) 11:11:13)
    2017/03/08(Wed) 11:14:32 編集(投稿者)

    今更、横から失礼します。

    みずきさんは、もうこのスレ見てないかもしれないけど、
    私は「a[n+2] = a[n+1](a[n+1]+1)/a[n]」という漸化式から「a[n+2] = 4a[n+1]-a[n]-1」という漸化式を
    導いた過程に興味があります。
    (1)何らかの手法、アルゴリズムがある? 情報が記載されたサイトや書籍をご紹介願いたく。
    (2)出典、類題の解法からの推論で、導出過程はご存じない?
    (3)項を1, 1, 2, 6, 21, 77, 286・・・と書いていって、それを眺めていて閃いた!
    それ以外かもしれないけど、どうでしょう?

    それと、もしスレ主さんがまだ見ていたら、この問題の出典は何でしょう?
    テストや問題集の問題なら、出題者がみずきさんの解法を想定していたとは思えないのですが。
    或いは、漸化式の変形の導出過程を明記することを、出題者は期待すると思いますが。
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■47909 / inTopicNo.5)  Re[2]: 漸化式
□投稿者/ ハイポネックス 一般人(3回)-(2017/03/10(Fri) 09:21:27)
    今年の同志社の問題です。
    おかしげな誘導が付いていたので、もっと自然に解けないかと思って聞いたのですが…
    でもみずきさんの解答も私にはサーカス並です…
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■47913 / inTopicNo.6)  Re[1]: 漸化式
□投稿者/ みずき 一般人(5回)-(2017/03/11(Sat) 16:41:21)
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■47914 / inTopicNo.7)  Re[3]: 漸化式
□投稿者/ IT 一般人(1回)-(2017/03/11(Sat) 16:46:10)
    No47909に返信(ハイポネックスさんの記事)
    > 今年の同志社の問題です。

    下記に同志社の問題と解答があります。(参考までに)
    http://kaisoku.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/17/d02.html

    a[1],a[2] が他の整数値の場合は、各a[n] が整数にならない場合もあるようですね。
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