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■47847 / inTopicNo.1)  位相空間の問題
  
□投稿者/ ユークリッド 一般人(1回)-(2017/01/07(Sat) 23:55:27)
    (X,d)を完備距離空間、A⊂Xとする。AはdのAへの制限により距離空間となる。このとき、次の条件が同値であることを示せ。

    (1)(A,d)は完備。

    (2)Aは(X,d)の閉集合。

    全然分かりません。よろしくお願いします。
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■48513 / inTopicNo.2)  Re[1]: 位相空間の問題
□投稿者/ muturajcp 一般人(3回)-(2018/08/16(Thu) 08:14:07)
    (X,d)を完備距離空間、A⊂Xとする
    AはdのAへの制限により距離空間となる
    N=(全自然数)
    clA=(Aの閉包)とする
    (1)→(2)の証
    (A,d)は完備
    b∈cl(A)とする
    任意の自然数n∈Nに対して
    a_n∈{x∈X|d(x,b)<1/n}∩A
    となるa_nが存在する
    任意のε>0に対して
    n_0>1/εとなる自然数n_0がある
    n>n_0となる任意の自然数nに対して
    d(a_n,b)<1/n<1/n_0<ε
    となるから
    lim_{n→∞}a_n=b
    {a_n}_{n∈N}はbに収束する
    収束する数列はコーシー列だから
    {a_n}_{n∈N}は完備Aのコーシー列となるから
    Aの要素に収束するから
    b∈A
    だから
    cl(A)=A
    だから
    ∴Aは(X,d)の閉集合

    (2)→(1)の証
    Aは(X,d)の閉集合
    A⊃{a_n}_{n∈N}はコーシー列
    とする
    (X,d)は完備だから
    lim_{n→∞}a_n=b∈X
    となるbがある
    任意のε>0に対して
    ある自然数n_0が存在して
    n>n_0となる任意の自然数nに対して
    d(a_n,b)<ε
    だから
    a_{n_0+1}
    ∈{x∈X|d(x,b)<ε}∩{a_n}_{n∈N}
    ⊂{x∈X|d(x,b)<ε}∩A
    だから
    {x∈X|d(x,b)<ε}∩A≠φ
    だから
    b∈cl(A)
    Aは閉集合だから
    b∈cl(A)=A
    だから
    b∈A
    Aのコーシー列はAの要素に収束するから
    ∴(A,d)は完備
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