| > Kathy = ハシモト?
いえ,ハシモトって誰なんでしょうね。
> |(a_ij+h*b_ij)| になるのなら話は分りますが…
まっまた,やってしまった、、、(悔)
仰る通り,
「(a_ij):=A,(b_ij):=Bがn×n正値エルミート行列の時,その行列式|A|は正実数になります。 lim_{R∋ε→0}(|A+εB|-|A|)/εは lim_{R∋h→0}(|(a_ij+hb_ij)|-|(a_ij)|)/h, と同じ意味ですよね?」
でした。これでさすがにOKですよね。
従って, lim_{R∋ε→0}(|A+εB|-|A|)/ε=lim_{R∋h→0}(|(a_ij+hb_ij)|-|(a_ij)|)/h =lim_{R∋h→0}(|(a_ij+(0+h)b_ij)|-|(a_ij+0b_ij)|)/h =d/dε|A+εB||_{ε=0}
が成り立ちますよね?
ところで,妙な事に気づきました。 d/dε|A+εB|はεについての多項式|A+εB|の微分だからその導関数d/dε|A+εB|は,勿論,ε=0で連続…(イ)ですよね。
d/dε|A+εB||_{ε=0} =lim_{ε→0}d/dε|A+εB| =lim_{ε→0}lim_{h→0}(|A+(ε+h)B|-|A+εB|)/h =lim_{h→0}(|A+(lim_{ε→0}ε+h)B|-|A+lim_{ε→0}εB|)/h ←(ア)より, =lim_{h→0}(|A+(0+h)B|-|A+0B|)/h =lim_{h→0}(|A+hB|-|A|)/h =lim_{h→0}(c_1h^n+c_2h^{n-1}+…+c_1h)/h ←行列式は多項式となるので =lim_{h→0}(c_1h^{n-1}+c_2h^{n-2}+…+c_1) =c_1
となりますが,一方では,(イ)から
lim_{ε→0}d/dε|A+εB| =d/dε|A+lim_{ε→0}B| ←連続の定義 =d/dε|A+0B|=d/dε|A|=0
となって答えが合致しません。
何故,このような現象が起きるのでしょうか?
lim_{ε→0}d/dε|A+εB|=d/dε|A+lim_{ε→0}B| と lim_{h→0}(|A+(lim_{ε→0}ε+h)B|-|A+lim_{ε→0}εB|)/h とは別物なのでしょうか??
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