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Re[3]: 行列式と微分係数
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□投稿者/ Kathy 一般人(5回)-(2014/08/09(Sat) 09:03:39)
 | > Kathy = ハシモト？
いえ,ハシモトって誰なんでしょうね。
> |(a_ij+h*b_ij)| になるのなら話は分りますが…
まっまた,やってしまった、、、(悔)
仰る通り,
「(a_ij):=A,(b_ij):=Bがn×n正値エルミート行列の時,その行列式|A|は正実数になります。
lim_{R∋ε→0}(|A+εB|-|A|)/εは
lim_{R∋h→0}(|(a_ij+hb_ij)|-|(a_ij)|)/h,
と同じ意味ですよね?」
でした。これでさすがにOKですよね。
従って,
lim_{R∋ε→0}(|A+εB|-|A|)/ε=lim_{R∋h→0}(|(a_ij+hb_ij)|-|(a_ij)|)/h
=lim_{R∋h→0}(|(a_ij+(0+h)b_ij)|-|(a_ij+0b_ij)|)/h
=d/dε|A+εB||_{ε=0}
が成り立ちますよね?
ところで,妙な事に気づきました。
d/dε|A+εB|はεについての多項式|A+εB|の微分だからその導関数d/dε|A+εB|は,勿論,ε=0で連続…(イ)ですよね。
d/dε|A+εB||_{ε=0}
=lim_{ε→0}d/dε|A+εB|
=lim_{ε→0}lim_{h→0}(|A+(ε+h)B|-|A+εB|)/h
=lim_{h→0}(|A+(lim_{ε→0}ε+h)B|-|A+lim_{ε→0}εB|)/h ←(ア)より,
=lim_{h→0}(|A+(0+h)B|-|A+0B|)/h
=lim_{h→0}(|A+hB|-|A|)/h
=lim_{h→0}(c_1h^n+c_2h^{n-1}+…+c_1h)/h ←行列式は多項式となるので
=lim_{h→0}(c_1h^{n-1}+c_2h^{n-2}+…+c_1)
=c_1
となりますが,一方では,(イ)から
lim_{ε→0}d/dε|A+εB|
=d/dε|A+lim_{ε→0}B| ←連続の定義
=d/dε|A+0B|=d/dε|A|=0
となって答えが合致しません。
何故,このような現象が起きるのでしょうか?
lim_{ε→0}d/dε|A+εB|=d/dε|A+lim_{ε→0}B|
と
lim_{h→0}(|A+(lim_{ε→0}ε+h)B|-|A+lim_{ε→0}εB|)/h
とは別物なのでしょうか??
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