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■40358 / inTopicNo.1) 　数学的帰納法について
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□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2009/12/22(Tue) 22:30:02)
    自然数ｎに関する命題Ｐ（ｎ）が、すべての自然数ｎ（簡単のためｎ≧１として）
    に対して真　を示すのに、
    「数学的帰納法」は、
    第１段　Ｐ（１）が真　を示し、
    第２段　すべての自然数ｎに対して、「Ｐ（ｎ）が真 ⇒ Ｐ（ｎ＋１）も真」を示して、証明終了。となるわけですが、
    （質問）上の第２段で、
    　　「ある自然数ｎ（が存在して）Ｐ（ｎ）が真 ⇒ Ｐ（ｎ＋１）も真」と表現（入試答案として）してもいいのではと、考えますが、皆さんはどうお考えになりますか？ご意見・お答え頂きたいと思います。よろしくお願いします。


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■40359 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 数学的帰納法について
□投稿者/ miyup 大御所(976回)-(2009/12/22(Tue) 22:45:00)
    ■No40358に返信(掛け流しさんの記事)
    > 自然数ｎに関する命題Ｐ（ｎ）が、すべての自然数ｎ（簡単のためｎ≧１として）
    > に対して真　を示すのに、
    > 「数学的帰納法」は、
    > 第１段　Ｐ（１）が真　を示し、
    > 第２段　すべての自然数ｎに対して、「Ｐ（ｎ）が真 ⇒ Ｐ（ｎ＋１）も真」を示して、証明終了。となるわけですが、
    > （質問）上の第２段で、
    > 　　「ある自然数ｎ（が存在して）Ｐ（ｎ）が真 ⇒ Ｐ（ｎ＋１）も真」と表現（入試答案として）してもいいのではと、考えますが、皆さんはどうお考えになりますか？ご意見・お答え頂きたいと思います。よろしくお願いします。

    ある特定の自然数ｎ以上で命題Ｐ（ｎ）が真であっても
    ２，３，…，ｎ−１のときの真偽について言及されていませんので
    命題Ｐ（ｎ）がすべての自然数ｎに対して真とはいえないと思います。
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■40364 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 数学的帰納法について
□投稿者/ 掛け流し 一般人(2回)-(2009/12/23(Wed) 13:25:51)
    miyupさん、早速のお返事ありがとうございます。
    さて、miyupさんのお返事ですと、（特定な自然数ｎに対して）
    ２からｎ−１までの自然数に対してＰ（ｎ）が真かどうか言えない、とのことですが、
    　第１段階で、ｎ＝１の時Ｐ（ｎ）は真が示されていますので、
    　第２段階のｎとしてｎ＝１を代入する事によって、Ｐ（２）は真である。
    　すなわち、ｎ＝２が存在して、Ｐ（２）が真であるわけです。
    　すると再び第２段によってＰ（３）も真であることとなる。
    　以下この論理の連鎖（？）によって、
    　　「すべての自然数ｎに対してＰ（ｎ）が真」である。
    といえるのではないか、と考えますが、いかがでしょうか。
    　再び、ご教授頂ければ幸いです。　
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■40365 / inTopicNo.4) 　Re[3]: 数学的帰納法について
□投稿者/ miyup 大御所(979回)-(2009/12/23(Wed) 13:51:47)
    2009/12/23(Wed) 16:10:39 編集(投稿者)

    ■No40364に返信(掛け流しさんの記事)
    > 　第１段階で、ｎ＝１の時Ｐ（ｎ）は真が示されていますので、
    > 　第２段階のｎとしてｎ＝１を代入する事によって、Ｐ（２）は真である。
    > 　すなわち、ｎ＝２が存在して、Ｐ（２）が真であるわけです。
    > 　すると再び第２段によってＰ（３）も真であることとなる。
    > 　以下この論理の連鎖（？）によって、
    > 　　「すべての自然数ｎに対してＰ（ｎ）が真」である。
    > といえるのではないか、と考えますが、いかがでしょうか。

    上記は「すべての自然数ｎ」について言及していることになります。

    「ある自然数ｎ」というのはｎが特定の値を示しているのであって
    それがもしｎ＝１ならば結果としてすべての自然数になります。
    例えば「ある自然数ｎ」がｎ＝１０であれば、ｎ≧１０の部分しか
    証明していないことになります。

    さらにいうと
    第１段階では、Ｐ（１）は真であることを示しているだけで、Ｐ（２）の真偽とは無関係です。つまり
    例えば「ある自然数ｎ」がｎ＝１０であれば、
    Ｐ（２）からＰ（９）までの真偽判定をすっとばしていることになります。

    もっというと
    命題「「すべての自然数ｎに対してＰ（ｎ）が真」ならば「ある自然数ｎに対してＰ（ｎ）が真」」
    は真ですが、その逆の命題
    「「ある自然数ｎに対してＰ（ｎ）が真」ならば「すべての自然数ｎに対してＰ（ｎ）が真」」
    は偽です。
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■40373 / inTopicNo.5) 　Re[4]: 数学的帰納法について
□投稿者/ 掛け流し 一般人(3回)-(2009/12/23(Wed) 20:22:39)
    miyupさん、たびたびお返事ありがとうございます。
    よくわかりました。つまり
    「数学的帰納法」の第２段は、
    　自然数ｎを任意に取り（それを固定して）、Ｐ（ｎ）が真 ⇒Ｐ（ｎ＋１）も真
    を示しているのですね。（その後）ｎをすべての自然数で動かすわけですね。
    ですから、ほとんどの入試問題の解説本で、「ｎ＝ｋのとき･･･」と表現しているのは、ｋは（任意の自然数で１つ取り、固定する）という意味である。−と改めて解釈しました。（正しいでしょうか？）。また、ご教授下されば幸いです。

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■40376 / inTopicNo.6) 　Re[5]: 数学的帰納法について
□投稿者/ miyup 大御所(984回)-(2009/12/23(Wed) 23:55:22)
    ■No40373に返信(掛け流しさんの記事)
    > 「数学的帰納法」の第２段は、
    > 　自然数ｎを任意に取り（それを固定して）、Ｐ（ｎ）が真 ⇒Ｐ（ｎ＋１）も真
    > を示しているのですね。（その後）ｎをすべての自然数で動かすわけですね。

    その解釈でよいと思います。

    > ですから、ほとんどの入試問題の解説本で、「ｎ＝ｋのとき･･･」と表現しているのは、ｋは（任意の自然数で１つ取り、固定する）という意味である。−と改めて解釈しました。（正しいでしょうか？）。

    「ｎ＝ｋ（ｋ＝１，２，３，…）のとき」と、ｋを使用しているのは
    　　ｎ＝１のとき、ｎ＝２のとき、ｎ＝３のとき、ｎ＝４のとき、…
    ということをまとめてｎ＝ｋで表現しているだけなので
    ｋを使おうが、ｎのまま使おうが同じことです。

    要は、ｋ（あるいはｎ）がいくつであっても成り立ちますよ、ということが
    言えれば第２段としてはＯＫだということです。

    「固定する」という言い方は、少し違和感があります。むしろ固定しない。
    とりあえずｋ（あるいはｎ）で示すというくらいでいいと思います。

    どんな自然数ｋ（あるいはｎ）を取ってきても
    　Ｐ（ｋ）（あるいはＰ（ｎ））が正しい・成立すると「仮定した」とき
    　Ｐ（ｋ＋１）（あるいはＰ（ｎ＋１））も正しくなる・成立する
    ことが「示されれば」、
    初期条件であるＰ（１）が正しい・成立することから
    すべての自然数ｋ（あるいはｎ）で
    Ｐ（ｋ）（あるいはＰ（ｎ））が正しい・成立することがいえる

    ということです。
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■40377 / inTopicNo.7) 　Re[6]: 数学的帰納法について
□投稿者/ 掛け流し 一般人(4回)-(2009/12/24(Thu) 02:05:54)
    miyupさん、何度もお答えありがとうございました。
    おかげさまでよくわかりました。今後ともよろしくお願いします。
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