数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: 三角関数 / Page: 0]

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■39144 / inTopicNo.1)

　逆三角関数

□投稿者/ printf 一般人(9回)-(2009/07/27(Mon) 12:10:11)

Tan^(-1)x + Tan^(-1)(1/x) = π/2

であることを示すという問題なのですが

まったくわかりません；；

どなたか解答していただけないでしょうか？

お願いいたします！

問題を読むと
アークタンジェント　－１乗　エックス　＋アークタンジェント　－１乗　ｘ分の１　イコール　二分のπ

です＾＾

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■39146 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 逆三角関数

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□投稿者/ X 付き人(63回)-(2009/07/27(Mon) 18:37:44)

2009/07/28(Tue) 09:43:54 編集(投稿者)

加法定理により
tan{2(arctanx+arctan(1/x))}
={tan(2arctanx)+tan(2arctan(1/x))}/{1-tan(2arctanx)tan(2arctan(1/x))} (A)
又、２倍角の公式により
tan(2arctanx)=2x/(1-x^2) (B)
tan(2arctan(1/x))=2x/(x^2-1) (C)
(A)(B)(C)により
tan{2(arctanx+arctan(1/x))}={2x/(1-x^2)+2x/(x^2-1)}/[1-{2x/(1-x^2)}{2x/(x^2-1)}]
=0 (A)'
ここで
-π/2<arctanx<π/2
-π/2<arctan(1/x)<π/2
∴-2π<2{arctanx+arctan(1/x)}<2π
∴(A)'から
arctanx+arctan(1/x)=0,π/2,-π/2
しかし
arctanx+arctan(1/x)=0
とすると
arctanx=-arctan(1/x)
となり、両辺の符号が合わず矛盾。
又
x>0のときarctanx+arctan(1/x)>0
x<0のときarctanx+arctan(1/x)<0
となるので結局
x>0のときarctanx+arctan(1/x)=π/2
x<0のときarctanx+arctan(1/x)=-π/2
となります。

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■39147 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 逆三角関数

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□投稿者/ X 付き人(64回)-(2009/07/27(Mon) 18:40:55)

2009/07/28(Tue) 09:39:51 編集(投稿者)

別解)
f(x)=arctanx+arctan(1/x) (A)
と置くと
f'(x)=1/(1+x^2)+(-1/x^2)/(1+1/x^2)
=0
∴f(x)=C (C:任意定数)
よってx=0のときにf(x)が連続でないことを考慮に入れると
(i)x>0のとき
(A)より
f(1)=π/2
∴C=π/2
となるから
f(x)=π/2
∴arctanx+arctan(1/x)=π/2
(ii)x<0のとき
(A)より
f(-1)=-π/2
∴C=-π/2
となるから
f(x)=-π/2
∴arctanx+arctan(1/x)=-π/2

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■39148 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 逆三角関数

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□投稿者/ だるまにおん付き人(73回)-(2009/07/27(Mon) 20:37:15)

2009/07/27(Mon) 20:40:16 編集(投稿者)

成り立ちません。 $2$x=-1$ を代入すると
$2$ \tan ^{-1}(-1)+ \tan ^{-1} \left( \frac{1}{-1} \right)=\tan ^{-1}(-1)+\tan ^{-1}(-1) = - \frac{\pi}{2}$

No39147はちょっと難ありかもしれません。

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■39151 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 逆三角関数

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□投稿者/ X 付き人(65回)-(2009/07/28(Tue) 09:36:14)

2009/07/28(Tue) 09:42:05 編集(投稿者)

>>だるまにおんさんへ
ご指摘ありがとうございます。確かに
f(x)=arctanx+arctan(1/x)
はx=0で連続ではないのでxの符号で場合分けが必要ですね。

>>printfさんへ
問題文にx>0という条件がありませんか？。もしなければだるまにおんさんのご指摘どおり
x>0のとき
arctanx+arctan(1/x)=π/2
x<0のとき
arctanx+arctan(1/x)=-π/2
となります。
(No.39146,39147はx>0という条件がないという前提で修正しました)

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■39153 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 逆三角関数

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□投稿者/ まいんぬ一般人(2回)-(2009/07/28(Tue) 10:56:01)

すみません！

解答ありがとうございます。

申し訳ございません

条件に　
x>0
をかくのをわすれていました。；；

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■39159 / inTopicNo.7)

　Re[3]: 逆三角関数

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□投稿者/ ついでなので、一般人(1回)-(2009/07/28(Tue) 20:55:50)

x＞0のとき、arctanx＝θ1, arctan(1／x)＝θ2とおくと、
tanθ1＝x, tanθ2＝1／xで、x＞0, 1／x＞0なので、
0＜θ1＜π／2, 0＜θ2＜π／2である。
tanθ1＋tanθ2＝x＋1／x, tanθ1tanθ2＝1より、
tan(θ1＋θ2)＝(tanθ1＋tanθ2)／(1－tanθ1tanθ2)＝(x＋1／x)／(1－1)＝(x＋1／x)／0となり、
tan(θ1＋θ2)の値は定義されず、
0＜θ1＋θ2＜πなので、
θ1＋θ2＝π／2である。
つまり、x＞0のとき、arctanx＋arctan(1／x)＝π／2である。

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■39446 / inTopicNo.8)

　三角関数

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□投稿者/ くぇ一般人(1回)-(2009/09/17(Thu) 22:36:11)

０＜ｘ＜ｙ＜πのとき，sinｘ＋sinｙと２sin（ｘ＋ｙ／２）の大小を比較せよという問題で，２sin(ｘ＋ｙ／２）－（sinｘ＋sinｙ）
＝２sin(ｘ＋ｙ／２){１－cos(ｘ＋ｙ／２）}までやったのですが，そこからどうやって解けばいいのか分かりません．

また，私は和→積の公式でやってみましたが，他に良い方法があれば教えていただけないでしょうか？

宜しくお願いしますm(u_u)m
ちなみに答えはsinｘ＋sinｙ＜２sin（ｘ＋ｙ／２）です
なるべく早めにお願いします

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■39447 / inTopicNo.9)

　Re[5]: 三角関数

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□投稿者/ ついでなので、一般人(1回)-(2009/09/18(Fri) 00:03:20)

別スレッドとして、新たに投稿すべきです。
それと、2sin(x+y/2)は、 $2$2\sin \left( x+\frac{y}{2} \right)$ です。
もし、 $2$2\sin \frac{x+y}{2}$ であれば、2sin{(x+y)/2}となります。
誤解の無いように問題文もきちんと書くべきです。

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