□投稿者/ X 付き人(63回)-(2009/07/27(Mon) 18:37:44)
 | 2009/07/28(Tue) 09:43:54 編集(投稿者)
加法定理により
tan{2(arctanx+arctan(1/x))}
={tan(2arctanx)+tan(2arctan(1/x))}/{1-tan(2arctanx)tan(2arctan(1/x))} (A)
又、２倍角の公式により
tan(2arctanx)=2x/(1-x^2) (B)
tan(2arctan(1/x))=2x/(x^2-1) (C)
(A)(B)(C)により
tan{2(arctanx+arctan(1/x))}={2x/(1-x^2)+2x/(x^2-1)}/[1-{2x/(1-x^2)}{2x/(x^2-1)}]
=0 (A)'
ここで
-π/2<arctanx<π/2
-π/2<arctan(1/x)<π/2
∴-2π<2{arctanx+arctan(1/x)}<2π
∴(A)'から
arctanx+arctan(1/x)=0,π/2,-π/2
しかし
arctanx+arctan(1/x)=0
とすると
arctanx=-arctan(1/x)
となり、両辺の符号が合わず矛盾。
又
x>0のときarctanx+arctan(1/x)>0
x<0のときarctanx+arctan(1/x)<0
となるので結局
x>0のときarctanx+arctan(1/x)=π/2
x<0のときarctanx+arctan(1/x)=-π/2
となります。
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