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■37167 / inTopicNo.1) 　関数について
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□投稿者/ 輝 一般人(1回)-(2008/12/18(Thu) 18:34:50)
    関数f(x)(a≦x≦b)が正の第2次導関数をもつとき、曲線C:y=f(x)の上に点Pをとって、Pにおける接戦lとこの曲線Cおよび2直線x=a,x=bとで囲まれた部分の面積を最小にするには、点Pをどのようにとればよいか(名古屋大)

    という問題で
    ①この文章からはf(x)は任意の関数,a,bは固定されてない
    ②f(x)はa≦x≦bの間でつねに正の第2次導関数をとればよい

    と解釈できると思うのですが、
    ①:これらが固定されていればPを動かして式を変形していくとl{(a+b)/2}(接戦上の点かつx=(a+b)/2のときのy座標)が最大になる時を求めればでると思うのですが、固定されてないとなるとどのように解いていけばよろしいでしょうか？

    ②:条件を満たしていればいいのでたとえばa≦x≦bでは下に凸の放物線(f(x))が書けx≧bのどこかで上に凸の放物線になっていたとすると、囲まれる面積がPの位置によって変わってきてしまいどこの面積が一番小さいかの証明をする必要が出てくると思うのですがその証明はどのようにすればいいのでしょうか。

    上記の2点についてよろしくお願いします。

    (携帯)
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■37168 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 関数について
□投稿者/ miyup 大御所(669回)-(2008/12/18(Thu) 20:22:30)
    2008/12/18(Thu) 20:23:14 編集(投稿者)

    ■No37167に返信(輝さんの記事)
    > 関数f(x)(a≦x≦b)が正の第2次導関数をもつとき、曲線C:y=f(x)の上に点Pをとって、Pにおける接戦lとこの曲線Cおよび2直線x=a,x=bとで囲まれた部分の面積を最小にするには、点Pをどのようにとればよいか(名古屋大)
    >
    > という問題で
    > ①この文章からはf(x)は任意の関数,a,bは固定されてない

    a,b は定数（＝固定されている）と解釈します。

    > ②:条件を満たしていればいいのでたとえばa≦x≦bでは下に凸の放物線(f(x))が書けx≧bのどこかで上に凸の放物線になっていたとすると、囲まれる面積がPの位置によって変わってきてしまいどこの面積が一番小さいかの証明をする必要が出てくると思うのですがその証明はどのようにすればいいのでしょうか。

    x＜a, b＜x の部分は、この問題では関係ありません。
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■37171 / inTopicNo.3) 　Re:
□投稿者/ 輝 一般人(2回)-(2008/12/18(Thu) 23:15:37)
    例えば、すべてのxの値でf(x)が下に凸の関数のとき、接戦をl(x)とするとa≦x≦bで囲まれる面積SはS=∫[a→b]{f(x)-l(x)}dxとなりますが、a≦x≦bでf(x)は下に凸の関数かつそれ以外のxの値ではf(x)が上に凸の関数となるとき(頂点はa≦x≦b間の頂点より上にあるとする)、そのa≦x≦bで囲まれた面積はS=∫[a→b]{l(x)-f(x)}dxとなりませんか？

    また、この問題が初見のときにa,bが固定されるというのはどのように判断すればよいのでしょうか？
    ぱっと見たときなにも条件はないので変数としてしまいそうなのですが…
    すいません。再度お願いします。

    (携帯)
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■37184 / inTopicNo.4) 　Re[3]: Re:
□投稿者/ miyup 大御所(670回)-(2008/12/19(Fri) 12:19:02)
    ■No37171に返信(輝さんの記事)
    > 例えば、すべてのxの値でf(x)が下に凸の関数のとき、接戦をl(x)とするとa≦x≦bで囲まれる面積SはS=∫[a→b]{f(x)-l(x)}dxとなりますが、a≦x≦bでf(x)は下に凸の関数かつそれ以外のxの値ではf(x)が上に凸の関数となるとき(頂点はa≦x≦b間の頂点より上にあるとする)、そのa≦x≦bで囲まれた面積はS=∫[a→b]{l(x)-f(x)}dxとなりませんか？

    a≦x≦bでは下に凸ですから常に、S=∫[a→b]{f(x)-l(x)}dxです。

    > また、この問題が初見のときにa,bが固定されるというのはどのように判断すればよいのでしょうか？
    > ぱっと見たときなにも条件はないので変数としてしまいそうなのですが…

    何も条件がないならば、a, b は定数です。
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■37186 / inTopicNo.5) 　Re:
□投稿者/ 輝 一般人(3回)-(2008/12/19(Fri) 16:04:53)
    すいません

    えっと、次の考え方のどこの過程で間違ってるのかお願いします。

    ①点pは曲線C上にあればよいのでa≦x≦bにあるとは限らない
    ②a≦x≦bでは下に凸の関数
    ③a≦x≦b以外では関数はどのようにもなりうる(∵条件より)
    ④a≦x≦b以外のxの値で上に凸の関数となってる場合を考える(∵③より)(頂点は十分高い位置にあるとする)
    ⑤さらに、④の"上に凸の関数"上に点Pがあるとする
    ⑥点Pにおける曲線上の接線を引くとa≦x≦bではl(x)>f(x)となる
    ⑦SはS=∫[a→b]{l(x)-f(x)}dxとなる

    また、なにも条件がない場合は定数というのは、例えば、
    (問)3次以下の任意の多項式f(x)=ax^3+bx^2+cx+dに対して∫[-1→1]f(x)dx=uf(s)+vf(t)が成り立つような定数u,v,s,t(s<t)を求めよ

    という問題でも｢a～dには条件がない｣。ゆえに｢a～dは定数と考える｣ということでしょうか？

    何度も申し訳ないです。
    よろしくお願いします。

    (携帯)
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■37190 / inTopicNo.6) 　Re[5]: Re:
□投稿者/ miyup 大御所(671回)-(2008/12/19(Fri) 21:01:45)
    2008/12/19(Fri) 21:05:27 編集(投稿者)

    ■No37186に返信(輝さんの記事)
    > ①点pは曲線C上にあればよいのでa≦x≦bにあるとは限らない

    >> 関数f(x)(a≦x≦b)が正の第2次導関数をもつとき、曲線C:y=f(x)の上に点Pをとって、

    関数f(x)は a≦x≦b で定義されているので、点P は a≦x≦b にとることになります。

    > また、なにも条件がない場合は定数というのは、例えば、
    > (問)3次以下の任意の多項式f(x)=ax^3+bx^2+cx+dに対して∫[-1→1]f(x)dx=uf(s)+vf(t)が成り立つような…
    > という問題でも｢a～dには条件がない｣。ゆえに｢a～dは定数と考える｣ということでしょうか？

    そうです。f(x)は変数が x の関数ですから、a～d は変数ではありません。
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■37191 / inTopicNo.7) 　Re:
□投稿者/ 輝 一般人(4回)-(2008/12/19(Fri) 21:11:47)
    本問についてはありがとうございました！
    f(x)自体がa≦x≦bでしか定義されてないということを確かに見落としてました。

    そして、例題でだした問題なのですが、
    解答では｢変数a～dに対してu～tはわざわざ定数と書いてあります。となると、任意のa～dによらないu～tであるべきです。｣
    とありますが…

    この問題について今一度よろしくお願いします。

    (携帯)
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■37194 / inTopicNo.8) 　Re[7]: Re:
□投稿者/ miyup 大御所(672回)-(2008/12/19(Fri) 21:47:48)
    2008/12/19(Fri) 21:59:57 編集(投稿者)

    ■No37191に返信(輝さんの記事)
    > 解答では｢変数a～dに対してu～tはわざわざ定数と書いてあります。となると、任意のa～dによらないu～tであるべきです。｣
    > とありますが…

    出題の意図が「u～t は a～d の値がどのような値にも関わらず定数である」という
    ことでしょうから、a～d の恒等式として扱うと思います。

    この場合 a～d は変数かと聞かれたら
    「恒等式として扱うようにしたときに変数扱いになる」
    と私は答えると思います。

    「任意の多項式f(x)＝」とありますので
    最初は定数扱いして、あとで変数扱いに変わる…
    という感覚でしょうか。
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■37195 / inTopicNo.9) 　Re:
□投稿者/ 輝 一般人(5回)-(2008/12/19(Fri) 21:59:15)
    そういうことでしたか。

    やっと理解できたような気がします。

    長々とありがとうございました。

    (携帯)
解決済み!
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