 | miyupさんへ
(lim[n→∞]a[n] = A)∧(lim[n→∞]b[n] = B) ⇒ (lim[n→∞](a[n]-b[n]) = A-B)
を証明することが目的(題意)です。
題意の結論部分は、εを正の実数、Nを自然数として、
(∀ε)(∃N)(n > N ⇒ |(a[n]-b[n])-(A-B)| < ε)
です。つまり任意のεに対してNが存在しなければなりません。
題意の仮定部分をmiyupさんは、ε[1],ε[2]を正の実数、N[1],N[2]を自然数として、
(∀ε[1])(∃N[1])(n ≧ N[1] ⇒ |a[n]-A| < ε[1])
(∀ε[2])(∃N[2])(n ≧ N[2] ⇒ |b[n]-B| < ε[2])
N = max(N[1],N[2])
ε = ε[1]+ε[2]
と分解されたので、順番として
「任意のεに対して、ε[1]とε[2]が定まり、N[1]とN[2]が定まり(存在し)、Nが定まる(存在する)」
ということが保証(?)されなければなりません。
> 任意に定めたε[1],ε[2]に対してN[1},N[2]が定まります。
上記は正しいと思います。
> N = max(N[1],N[2]) も最初に定めたε[1],ε[2]に対して定まることになる
> という認識でしたが…
N[1]が定まる(存在する)という前提なら上記は正しいのですが、
N[1]はε[1]に依存する値なので、先ずε[1]が定まることが前提となります。
ε = ε[1]+ε[2]という関係式だけではε[1]は定まりません。
いくらでも小さな正の実数値を取ることができててしまいます。
# ε = ε[1]+ε[2]という条件だけでは、ε[1],ε[2]の2数は定まりません。
> εも ε/2 = max(ε[1],ε[2]) としておいた方が安全でしょうか。
上記だけなら不足だと思います。
上記かつε = ε[1]+ε[2]というのならOKと思いますが、これはε[1] = ε[2] = ε/2と同値です。
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