□投稿者/ WIZ 大御所(292回)-(2008/09/30(Tue) 22:57:52)
 | miyupさんへ
> forallε[1]>0, exist N[1](Natural Number) s.t. n[1]≧N[1] → |a[n[1]]-A|＜ε[1]
> forallε[2]>0, exist N[2](Natural Number) s.t. n[2]≧N[2] → |b[n[2]]-B|＜ε[2]
> ここで
> N＝max(N[1],N[2])、ε＝ε[1]+ε[2] とおくと
> n≧N のとき
> |(a[n]-b[n])-(A-B)|＝|a[n]-A+B-b[n]|≦|a[n]-A| + |B-b[n]|＜ε[1]+ε[2]＝ε
> となる。
上記の証明で殆ど正しいと思いますが、一箇所指摘させてください。
# 私の考え違いの可能性もありますので、気を悪くなさらないでください。
最終的にはεに対してNが定まらなければなりません。
ε = ε[1]+ε[2]という形にしてしまうと、ε[1]とε[2]値には任意性があります。
つまり、ε[1]はどんな小さい値でも取れてしまうので、N[1]は定まりません。
N = max(N[1],N[2])ですから、εに対してNが定まらないことになります。
ここはやはり、ε[1] = ε[2] = ε/2としてしまった方が良いと思います。
即ち、
for all ε > 0, exist N[1](Natural Number) s.t. n[1]≧N[1] → |a[n[1]]-A| < ε/2
for all ε > 0, exist N[2](Natural Number) s.t. n[2]≧N[2] → |b[n[2]]-B| < ε/2
こうすれば、任意の正の数εに対して、N[1]とN[2]が定まり、よってNも定まると思います。
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