数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 複素数 / Page: 0]

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■27292 / inTopicNo.1)

　複素数

□投稿者/ 雪坊主一般人(20回)-(2007/08/11(Sat) 17:50:36)

x､y､zが次の連立方程式をみたしているとき、以下の問いに答えなさい。ただし、x､y､zは複素数とする。

$2$x+y+z=0$ …①　 $2$x^3+y^3+z^3=-17$ …②　 $2$x^4+y^4+z^4=2$ …③

(i) $2$xyz$ の値を求めよ。
(ⅱ) $2$xy+yz+zx,\quad x^2+y^2+z^2$ の値を求めよ。
(ⅲ) $2$x^5+y^5+z^5$ の値を求めよ。

この問題で(ⅰ)は解けたのですが、(ⅱ)(ⅲ)がわかりません。
どうやって求めていけばよいのでしょうか？？

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■27295 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(1397回)-(2007/08/11(Sat) 21:37:37)

2007/08/11(Sat) 23:34:07 編集(投稿者)

■No27292に返信(雪坊主さんの記事)
> x､y､zが次の連立方程式をみたしているとき、以下の問いに答えなさい。ただし、x､y､zは複素数とする。
>
> $2$x+y+z=0$ …①　 $2$x^3+y^3+z^3=-17$ …②　 $2$x^4+y^4+z^4=2$ …③
>
> (i) $2$xyz$ の値を求めよ。
> (ⅱ) $2$xy+yz+zx,x^2+y^2+z^2$ の値を求めよ。
> (ⅲ) $2$x^5+y^5+z^5$ の値を求めよ。

$2$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)\{x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)\}$
$2$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)$
にくわえて
$2$x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$
$2$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=(xy+yz+zx)^2-2(xy^2z+yz^2x+zx^2y)=(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)$
を使えます。

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■27296 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ Siko^2 一般人(1回)-(2007/08/11(Sat) 22:38:37)

■No27292に返信(雪坊主さんの記事)
> x､y､zが次の連立方程式をみたしているとき、以下の問いに答えなさい。ただし、x､y､zは複素数とする。
>
> $2$x+y+z=0$ …①　 $2$x^3+y^3+z^3=-17$ …②　 $2$x^4+y^4+z^4=2$ …③
>
> (i) $2$xyz$ の値を求めよ。
> (ⅱ) $2$xy+yz+zx,\quad x^2+y^2+z^2$ の値を求めよ。
> (ⅲ) $2$x^5+y^5+z^5$ の値を求めよ。
>
>

　　顛末です；
-(17/3)
-1, 1
-2, 2
-(85/3), 85/3

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■27311 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ 雪坊主一般人(21回)-(2007/08/12(Sun) 23:46:35)

■No27295に返信(miyupさんの記事)
> 2007/08/11(Sat) 23:34:07 編集(投稿者)
>
> ■No27292に返信(雪坊主さんの記事)
>>x､y､zが次の連立方程式をみたしているとき、以下の問いに答えなさい。ただし、x､y､zは複素数とする。
>>
>> $2$x+y+z=0$ …①　 $2$x^3+y^3+z^3=-17$ …②　 $2$x^4+y^4+z^4=2$ …③
>>
>>(i) $2$xyz$ の値を求めよ。
>>(ⅱ) $2$xy+yz+zx,x^2+y^2+z^2$ の値を求めよ。
>>(ⅲ) $2$x^5+y^5+z^5$ の値を求めよ。
>
> $2$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)\{x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)\}$
> $2$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)$
> にくわえて
> $2$x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$
> $2$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=(xy+yz+zx)^2-2(xy^2z+yz^2x+zx^2y)=(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)$
> を使えます。

$2$x^4+y^4+z^4=(x^2+y^2+z^2)^2-2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$
に $2$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)$ と $2$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=(xy+yz+zx)^2-2(xy^2z+yz^2x+zx^2y)=(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)$ を代入して $2$xy+yz+zx$ をもとめればいいんですね＾＾

ありがとうございました。

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■27312 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 複素数

▲▼■

□投稿者/ 白拓大御所(851回)-(2007/08/13(Mon) 01:00:19)

> (ⅲ) $2$x^5+y^5+z^5$ の値を求めよ。

(x^2 + y^2 + z^2)(x^3 + y^3 + z^3)=(x^5+y^5+z^5)+(x^2y^3+x^3y^2+y^2z^3+y^3z^2+z^2x^3+z^3x^2)

(x^2y^3+x^3y^2+y^2z^3+y^3z^2+z^2x^3+z^3x^2)
={x^2y^2(x+y) + y^2z^2(y+z) + z^2x^2(z+x) }+{ xyz(xy+yz+zx)-xyz(xy+yz+zx)}
=(x+y+z)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)-xyz(xy + yz + zx)

∴x^5+y^5+z^5=(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)-(x+y+z)(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+xyz(xy+yz+zx)=…

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