数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 複素平面？ / Page: 0]

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■27283 / inTopicNo.1)

　複素平面？

▼■

□投稿者/ 雪坊主一般人(16回)-(2007/08/11(Sat) 12:33:19)

$2$a=\cos 36$ ° $2$+i\sin 36$ °とするとき、次の値を求めなさい。

① $2$1+a+a^2+$ …… $2$+a^9$
② $2$1$ ・ $2$a$ ・ $2$a^2$ ・……・ $2$a^9$

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■27284 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 複素平面？

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□投稿者/ だるまにおん大御所(331回)-(2007/08/11(Sat) 12:50:15)

2007/08/11(Sat) 13:06:22 編集(投稿者)

1,α,α^2,…,α^9は方程式z^10=1の解なので、解と係数の関係が使えますね。

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■27285 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 複素平面？

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□投稿者/ miyup 大御所(1395回)-(2007/08/11(Sat) 12:52:09)

2007/08/11(Sat) 12:53:06 編集(投稿者)

■No27283に返信(雪坊主さんの記事)
> $2$a=\cos 36$ ° $2$+i\sin 36$ °とするとき、次の値を求めなさい。
>
> ① $2$1+a+a^2+$ …… $2$+a^9$
> ② $2$1$ ・ $2$a$ ・ $2$a^2$ ・……・ $2$a^9$

$2$(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)=\cos (x+y)+i\sin (x+y)$

$2$(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx$

を利用できます(ド・モアブルの定理)

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■27286 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 複素平面？

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□投稿者/ 雪坊主一般人(17回)-(2007/08/11(Sat) 14:00:31)

■No27285に返信(miyupさんの記事)
> 2007/08/11(Sat) 12:53:06 編集(投稿者)
>
> ■No27283に返信(雪坊主さんの記事)
>> $2$a=\cos 36$ ° $2$+i\sin 36$ °とするとき、次の値を求めなさい。
>>
>>① $2$1+a+a^2+$ …… $2$+a^9$
>>② $2$1$ ・ $2$a$ ・ $2$a^2$ ・……・ $2$a^9$
>
> $2$(\cos x+i\sin x)(\cos y+i\sin y)=\cos (x+y)+i\sin (x+y)$
>
> $2$(\cos x+i\sin x)^n=\cos nx+i\sin nx$
>
> を利用できます(ド・モアブルの定理)

ドモアブルの定理で１～９乗までを計算して
足したり、かけたりして求めるということでしょうか？？

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■27287 / inTopicNo.5)

　Re[3]: 複素平面？

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□投稿者/ だるまにおん大御所(332回)-(2007/08/11(Sat) 14:02:19)

解と係数の関係はご存知ないですか？これを使った方が楽だと思うのですが…。
勿論ド・モアブルの定理を駆使しても解けますけど。

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■27288 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 複素平面？

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□投稿者/ だるまにおん大御所(333回)-(2007/08/11(Sat) 14:10:46)

参考までに…

＜ド・モアブルの定理を使う方法＞
(α-1)(1+α+α^2+…+α^9)=α^10-1=cos360°+isin360°-1=0
α-1≠0より1+α+α^2+…+α^9=0

1・α・α^2・…・α^9=α^(1+2+…+9)=α^45=(α^10)^4・α^5=α^5=cos180°+isin180°=-1

＜解と係数の関係を使う方法＞
z^10-1=(z-1)(z-α)(z-α^2)…(z-α^9)
右辺のz^9の係数=-(1+α+α^2+…+α^9)=左辺のz^9の係数=0
右辺のz^0の係数=1・α・α^2・…・α^9=左辺のz^0の係数=-1

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■27289 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 複素平面？

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□投稿者/ 雪坊主一般人(18回)-(2007/08/11(Sat) 16:02:53)

2007/08/11(Sat) 16:03:57 編集(投稿者)

■No27288に返信(だるまにおんさんの記事)
> 参考までに…
>
>
> ＜ド・モアブルの定理を使う方法＞
> (α-1)(1+α+α^2+…+α^9)=α^10-1=cos360°+isin360°-1=0
> α-1≠0より1+α+α^2+…+α^9=0
>
> 1・α・α^2・…・α^9=α^(1+2+…+9)=α^45=(α^10)^4・α^5=α^5=cos180°+isin180°=-1
>
>
> ＜解と係数の関係を使う方法＞
> z^10-1=(z-1)(z-α)(z-α^2)…(z-α^9)
> 右辺のz^9の係数=-(1+α+α^2+…+α^9)=左辺のz^9の係数=0
> 右辺のz^0の係数=1・α・α^2・…・α^9=左辺のz^0の係数=-1

すいません。よくわかりませんでした。
$2$z^{10}=1$ が $2$(z-1)(z-a)(z-a^2)$ … $2$(z-a^9)$ になったり

$2$(\alpha -1)(1+\alpha +\alpha ^2+$ … $2$+\alpha ^9)=\alpha ^{10}-1$ となるところが
まったくわかりませんです。。。

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■27290 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 複素平面？

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□投稿者/ だるまにおん大御所(334回)-(2007/08/11(Sat) 16:06:57)

> $2$(\alpha -1)(1+\alpha +\alpha ^2+$ … $2$+\alpha ^9)=\alpha ^{10}-1$ となるところが
> まったくわかりませんです。。。

等比数列の和の公式は知ってますか？
1+α+α^2+…+α^9
は公比がαの等比数列の和と考えることが出来ますね。
つまり(α^10-1)/(α-1)=1+α+α^2+…+α^9
両辺に(α-1)をかければ(α-1)(1+α+α^2+…+α^9)=α^10-1

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■27291 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 複素平面？

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□投稿者/ 雪坊主一般人(19回)-(2007/08/11(Sat) 16:16:09)

■No27290に返信(だるまにおんさんの記事)
>> $2$(\alpha -1)(1+\alpha +\alpha ^2+$ … $2$+\alpha ^9)=\alpha ^{10}-1$ となるところが
>>まったくわかりませんです。。。
>
> 等比数列の和の公式は知ってますか？
> 1+α+α^2+…+α^9
> は公比がαの等比数列の和と考えることが出来ますね。
> つまり(α^10-1)/(α-1)=1+α+α^2+…+α^9
> 両辺に(α-1)をかければ(α-1)(1+α+α^2+…+α^9)=α^10-1

おぉ～そういうことか！！
わかった～～
いつもありがとうございます。

解決済み!

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■27297 / inTopicNo.10)

　Re[1]: 複素平面？

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□投稿者/ Siko^2 一般人(2回)-(2007/08/11(Sat) 23:47:59)

■No27283に返信(雪坊主さんの記事)
> $2$a=\cos 36$ ° $2$+i\sin 36$ °とするとき、

>
Simplify[Sum[(1/4 + Sqrt[5]/4 +
1/2*I*Sqrt[1/2*(5 - Sqrt[5])])^m,
{m, 0, 9}]] = 0
---------------------------------

Product[(1/4 + Sqrt[5]/4 +
1/2*I*Sqrt[1/2*(5 - Sqrt[5])])^m,
{m, 0, 9}]
Expand[%]

=(1/4 + Sqrt[5]/4 +
1/2*I*Sqrt[1/2*(5 - Sqrt[5])])^45

=-1

以上　参考まで。

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