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■14801 / inTopicNo.1)

　お願いします。

□投稿者/ kennti 一般人(9回)-(2006/07/18(Tue) 15:27:44)

以前質問したのですが、ご解答がありませんでしたのでもう一度お願いします。
三次方程式 $2$x^3-1=0$ の虚数解の一つを $2$\alpha$ とします。
$2$a,b,c$ を次数の定数とするとき、次の三つの二次方程式が少なくとも一つ共通解を持つための条件を $2$a,b,c,\alpha$ を用いて表しなさい。という問題です。
$2$ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0$
教えてください。

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■14838 / inTopicNo.2)

　Re[1]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1418回)-(2006/07/19(Wed) 13:35:23)

ax^2+bx+c=0
bx^2+cx+a=0
cx^2+ax+b=0
が共通解をもつとき、その共通解をβとすると
aβ^2+bβ+c=0　…イ
bβ^2+cβ+a=0　…ロ
cβ^2+aβ+b=0　…ハ
イ+ロ+ハより(a+b+c)(β^2+β+1)=0
よって、a+b+c=0もしくはβ=αが成り立ちます。

逆に、a+b+c=0もしくはβ=αが成り立つとき、
与えられた3つの2次方程式は共通解を持ちます。
(なぜならa+b+c=0のときはx=1が共通解で、
β=α、つまり共通解がαのときはa=b=c≠0になるからです)

以上より少なくとも一つの共通解をもつ条件は(a+b+c)(aα^2+bα+c)=0

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■14845 / inTopicNo.3)

　Re[2]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ kennti 一般人(10回)-(2006/07/19(Wed) 17:59:15)

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■14846 / inTopicNo.4)

　Re[2]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ kennti 一般人(11回)-(2006/07/19(Wed) 18:04:19)

■No14838に返信(だるまにおんさんの記事)
> ax^2+bx+c=0
> bx^2+cx+a=0
> cx^2+ax+b=0
> が共通解をもつとき、その共通解をβとすると
> aβ^2+bβ+c=0　…イ
> bβ^2+cβ+a=0　…ロ
> cβ^2+aβ+b=0　…ハ
> イ+ロ+ハより(a+b+c)(β^2+β+1)=0
> よって、a+b+c=0もしくはβ=αが成り立ちます。
>
> 逆に、a+b+c=0もしくはβ=αが成り立つとき、
> 与えられた3つの2次方程式は共通解を持ちます。
> (なぜならa+b+c=0のときはx=1が共通解で、
> β=α、つまり共通解がαのときはa=b=c≠0になるからです)
>
> 以上より少なくとも一つの共通解をもつ条件は(a+b+c)(aα^2+bα+c)=0
すみません、あと最後の（なぜなら・・・・・・の部分がわかりません。
一番自分の中で不明なのが、(a+b+c)(aα^2+bα+c)=0で
どこから(aα^2+bα+c)がでてきたのですか？お手数ですがよろしくお願いします。

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■14865 / inTopicNo.5)

　Re[3]: お願いします。

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□投稿者/ miyup 大御所(451回)-(2006/07/19(Wed) 23:51:56)

■No14845に返信(kenntiさんの記事)
> ■No14838に返信(だるまにおんさんの記事)
>>ax^2+bx+c=0
>>bx^2+cx+a=0
>>cx^2+ax+b=0
>>が共通解をもつとき、その共通解をβとすると
>>aβ^2+bβ+c=0　…イ
>>bβ^2+cβ+a=0　…ロ
>>cβ^2+aβ+b=0　…ハ
>>イ+ロ+ハより(a+b+c)(β^2+β+1)=0
>>よって、a+b+c=0もしくはβ=αが成り立ちます。
> 返信ありがとうございます。
> ところであらゆる問題でもそうなのですが、
> イ+ロ+ハのような発想はどのようにすれば思いつくのでしょうか？
> コメントいただけないでしょうか？お願いします。

イロハが共通解を持つとき、その解はイロハ全てに代入できる。
イロハが共通解を持つということは、「連立方程式の解」を求めるという方針を
取ることができる。
ａ、ｂ、ｃの循環タイプの式のときは、３式を全て加えると、(a+b+c)で因数分解できる。

こんな感じでしょうか？

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■14867 / inTopicNo.6)

　Re[3]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1419回)-(2006/07/20(Thu) 01:42:40)

2006/07/20(Thu) 01:44:12 編集(投稿者)

■No14846に返信(kenntiさんの記事)
> ■No14838に返信(だるまにおんさんの記事)
>>ax^2+bx+c=0
>>bx^2+cx+a=0
>>cx^2+ax+b=0
>>が共通解をもつとき、その共通解をβとすると
>>aβ^2+bβ+c=0　…イ
>>bβ^2+cβ+a=0　…ロ
>>cβ^2+aβ+b=0　…ハ
>>イ+ロ+ハより(a+b+c)(β^2+β+1)=0
>>よって、a+b+c=0もしくはβ=αが成り立ちます。
>>
>>逆に、a+b+c=0もしくはβ=αが成り立つとき、
>>与えられた3つの2次方程式は共通解を持ちます。
>>(なぜならa+b+c=0のときはx=1が共通解で、
>>β=α、つまり共通解がαのときはa=b=c≠0になるからです)
>>
>>以上より少なくとも一つの共通解をもつ条件は(a+b+c)(aα^2+bα+c)=0
> すみません、あと最後の（なぜなら・・・・・・の部分がわかりません。
> 一番自分の中で不明なのが、(a+b+c)(aα^2+bα+c)=0で
> どこから(aα^2+bα+c)がでてきたのですか？お手数ですがよろしくお願いします。

a+b+c=0のときは
ax^2+bx+c=0にx=1を代入するとa+b+c=0となるから、ax^2+bx+c=0はx=1を解に持つ。
bx^2+cx+a=0にx=1を代入するとb+c+a=0となるから、bx^2+cx+a=0はx=1を解に持つ。
cx^2+ax+b=0にx=1を代入するとc+a+b=0となるから、cx^2+ax+b=0はx=1を解に持つ。
よってax^2+bx+c=0，bx^2+cx+a=0，cx^2+ax+b=0は共通解を持ちます。

β=αのときは、a=b=c=k≠0とおけるので
ax^2+bx+c=0⇔kx^2+kx+1=0
bx^2+cx+a=0⇔kx^2+kx+1=0
cx^2+ax+b=0⇔kx^2+kx+1=0
よってβ=α，すなわちa=b=c=k≠0のときax^2+bx+c=0，bx^2+cx+a=0，cx^2+ax+b=0は共通解を持ちます。

これでめでたく共通解を持つ条件は「a+b+c=0もしくはa=b=c≠0」と分かったわけですが、ここからが問題です。
問題文に「a，b，c，αを用いて表しなさい」とありますね。
・・・α！？
「a+b+c=0もしくはa=b=c≠0」じゃだめなのか？
・・・ということになりましてですね、なんとかαを使うために
　a=b=c≠0⇔aα^2+bα+c=0
という関係をつかうことにしました。たしかに不自然ですけど。

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■14868 / inTopicNo.7)

　Re[4]: お願いします。

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□投稿者/ すぃりす一般人(1回)-(2006/07/20(Thu) 01:57:19)

横からですが、質問させてください。
ax^2+bx+c=0
bx^2+cx+a=0
cx^2+ax+b=0
が共通解をもつことの必要十分条件が
a+b+c=0もしくはβ=α
ということはどこから言えるのですか。

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■14869 / inTopicNo.8)

　Re[5]: お願いします。

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□投稿者/ だるまにおん大御所(1420回)-(2006/07/20(Thu) 02:17:50)

ax^2+bx+c=0
bx^2+cx+a=0
cx^2+ax+b=0
が共通解をもつとき、その共通解をβとすると
aβ^2+bβ+c=0　…イ
bβ^2+cβ+a=0　…ロ
cβ^2+aβ+b=0　…ハ
イ+ロ+ハより(a+b+c)(β^2+β+1)=0　・・・(甲)
よって、a+b+c=0もしくはβ=αが成り立ちます。

逆に、a+b+c=0もしくはβ=αが成り立つとき、
与えられた3つの2次方程式は共通解を持ちます。　・・・(乙)
(なぜならa+b+c=0のときはx=1が共通解で、
β=α、つまり共通解がαのときはa=b=c≠0になるからです)

まず、必要条件を求めて((甲)の部分)、そして、逆にそれが十分条件でもあることも確かめられるので((乙)の部分)、「a+b+c=0もしくはβ=α」が必要十分条件である、としましたが何かおかしかったでしょうか…(不安)

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■14870 / inTopicNo.9)

　Re[6]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ すぃりす一般人(2回)-(2006/07/20(Thu) 02:23:00)

ありがとうございます。
わかりました。

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■15009 / inTopicNo.10)

　Re[2]: お願いします。

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□投稿者/ 平木慎一郎大御所(447回)-(2006/07/22(Sat) 12:18:23)

2006/07/22(Sat) 12:18:57 編集(投稿者)

> 以上より少なくとも一つの共通解をもつ条件は(a+b+c)(aα^2+bα+c)=0
横から失礼します。だるまにおんさんは共通解 $2$\beta$ は $2$\alpha$
とだけで計算していますが、 $2$\beta^2+\beta+1=0$ のとき
$2$\alpha^2$ も共通の解になるのではないですか？
ということは最終的に条件は
$2$(a+b+c)(a\alpha^2+b\alpha+c)(a\alpha+b\alpha^2+c)=0$
となると思います。

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■15014 / inTopicNo.11)

　Re[3]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1436回)-(2006/07/22(Sat) 14:16:14)

(a+b+c)(aα^2+bα+c)(aα+bα^2+c)=0
って結局
(a+b+c)(aα^2+bα+c)=0
と同じ事ではないですか？

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■15016 / inTopicNo.12)

　Re[4]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(448回)-(2006/07/22(Sat) 14:24:11)

■No15014に返信(だるまにおんさんの記事)
> (a+b+c)(aα^2+bα+c)(aα+bα^2+c)=0
> って結局
> (a+b+c)(aα^2+bα+c)=0
> と同じ事ではないですか？
$2$\beta^2+\beta+1=0$ のとき、
$2$\beta=\alpha,\alpha^2$ が共通解。
$2$\beta=\alpha$ のとき
$2$a\alpha^2+b\alpha+c=0$
この式に $2$\alpha,\alpha^2$ を掛けて
$2$b\beta^2+c\beta+a=0$ 、
$2$c\beta^2+a\beta+b=0$ に $2$\beta=\alpha$ を代入した式が得られます。
$2$\beta=\alpha^2$ のときも同様に $2$a\alpha+b\alpha^2+c=0$ が出るので。
よって三つの条件を入れたほうがいいような気がしますが・・・

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■15017 / inTopicNo.13)

　Re[5]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ だるまにおん大御所(1437回)-(2006/07/22(Sat) 14:35:07)

(a+b+c)(aα^2+bα+c)=0⇒(a+b+c)(aα^2+bα+c)(aα+bα^2+c)=0
は、自明。
また、少し考えれば
(a+b+c)(aα^2+bα+c)(aα+bα^2+c)=0⇒(a+b+c)(aα^2+bα+c)=0
も示せるので、
(a+b+c)(aα^2+bα+c)=0⇔(a+b+c)(aα^2+bα+c)(aα+bα^2+c)=0
ですよね…(何か間違ってるでしょうか？)
だから、あえて(a+b+c)(aα^2+bα+c)(aα+bα^2+c)=0にする必要性が感じられないのですが…

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■15018 / inTopicNo.14)

　Re[6]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(449回)-(2006/07/22(Sat) 14:37:34)

■No15017に返信(だるまにおんさんの記事)
> (a+b+c)(aα^2+bα+c)=0⇒(a+b+c)(aα^2+bα+c)(aα+bα^2+c)=0
> は、自明。
> また、少し考えれば
> (a+b+c)(aα^2+bα+c)(aα+bα^2+c)=0⇒(a+b+c)(aα^2+bα+c)=0
> も示せるので、
> (a+b+c)(aα^2+bα+c)=0⇔(a+b+c)(aα^2+bα+c)(aα+bα^2+c)=0
> ですよね…(何か間違ってるでしょうか？)
> だから、あえて(a+b+c)(aα^2+bα+c)(aα+bα^2+c)=0にする必要性が感じられないのですが…
$2$\beta=\alpha^2$ のときも考えなければ×をくらうのではないかと
思ったのですが・・・

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■15051 / inTopicNo.15)

　Re[7]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(475回)-(2006/07/22(Sat) 23:03:42)

■No15018に返信(平木慎一郎さんの記事)
> $2$\beta=\alpha^2$ のときも考えなければ×をくらうのではないかと
> 思ったのですが・・・

「x^3-1=0 の虚数解の一つをαとする」という問題ではいつも、「αってどっちのこと？」と思いませんか？

この場合、結局どちらか一方をαにすればよいということになりますよね。（もう一方すなわちα^2をαにしたときに、現在問題となっている式が出てくる）ですから、α^2については言及しなくても大丈夫であると思います。

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■15056 / inTopicNo.16)

　Re[8]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(457回)-(2006/07/23(Sun) 05:06:10)

> 「x^3-1=0 の虚数解の一つをαとする」という問題ではいつも、「αってどっちのこと？」と思いませんか？
僕の解釈がおかしいのでしょうか？
お言葉を返すようですが、どちらにしても同じになるということを
示すべきではないのでしょうか？今回は最終的にαとα^2では同じ結果に
なりましたが、それはあくまで最後に検証した結果です。

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■15057 / inTopicNo.17)

　Re[9]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(458回)-(2006/07/23(Sun) 05:07:27)

すいません、もう1つ。
勝手にαをどちらか一方に定めてしまっていいんでしょうか？

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■15060 / inTopicNo.18)

　Re[9]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(477回)-(2006/07/23(Sun) 10:53:53)

■No15056に返信(平木慎一郎さんの記事)
>>「x^3-1=0 の虚数解の一つをαとする」という問題ではいつも、「αってどっちのこと？」と思いませんか？
> 僕の解釈がおかしいのでしょうか？
> お言葉を返すようですが、どちらにしても同じになるということを
> 示すべきではないのでしょうか？今回は最終的にαとα^2では同じ結果に
> なりましたが、それはあくまで最後に検証した結果です。

いわゆる「ωの問題」※については、「どちらをωとしてもよい」「残った方では特に検証しない（しなくてよい）」ようですね。

一方をωにして結論を出せばω^2 がもう一方になるので、２つの値について１つの証明で十分であるという判断ができるのではないかと思います。

※「ωの問題」…x^3-1=0 の虚数解の一つをωとして、与えられた式の計算をする問題。

　x^3-1=0 の解は、x=1,(-1±√3i)/2 で、(-1±√3i)/2 のどちらか一方をωとする。
　実際には、ω^3=1, ω^2+ω+1=0 の関係式を利用して問題を解く。
　　　ω=(-1+√3i)/2 とおけば、ω^2=(-1-√3i)/2 になる。
　　　ω=(-1-√3i)/2 とおけば、ω^2=(-1+√3i)/2 になる。

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■15073 / inTopicNo.19)

　Re[10]: お願いします。

▲▼■

□投稿者/ 平木慎一郎大御所(459回)-(2006/07/23(Sun) 18:45:53)

質問者がいれば一番いいのですが、この問題はどこかの引用でしょうか？
もしそうなら模範解答があるはずなのですが・・・・

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