数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[8]: また図々しいんですが / Page: 0]

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■14425 / inTopicNo.1)

　また図々しいんですが

□投稿者/ kennti 一般人(2回)-(2006/07/08(Sat) 10:30:40)

次の数列の一般項と和を求めよという問題なのですが、 $2$a_1=\frac{1}{2},a_{n+1}=\frac{na_n}{n+2}$ さっぱりです。
解答では $2$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}\times\frac{1}{a}$
$2$b_n=\frac{1}{a_n}$ とおいて
$2$b_n=\frac{n+1}{n-1}b_{n-1}=\frac{n+1}{n-1}\times\frac{n}{n-2}\times\frac{n-1}{n-3}\times......\times\frac{3}{1}b_1=\frac{n(n+1)}{2}\times2=n(n+1)$ ここから $2$a_n$ が求まるのはわかるんですが、なぜ上のような解法になるのかがまったくわかりませんので教えてください。

あとすいません。
三次方程式 $2$x^3-1=0$ の虚数解の一つを $2$alpha$ とします。
$2$a,b,c$ を次数の定数とするとき、次の三つの二次方程式が少なくとも一つ共通解を持つための条件を $2$a,b,c,\alpha$ を用いて表しなさい。という問題です。
$2$ax^2+bx+c=0,bx^2+cx+a=0,cx^2+ax+b=0$
教えてください。

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■14427 / inTopicNo.2)

　Re[1]: また図々しいんですが

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(402回)-(2006/07/08(Sat) 12:09:27)

2006/07/08(Sat) 14:31:41 編集(投稿者)

■No14425に返信(kenntiさんの記事)
> 次の数列の一般項と和を求めよという問題なのですが、 $2$a_1=\frac{1}{2},a_{n+1}=\frac{na_n}{n+2}$ さっぱりです。
> 解答では $2$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}\times\frac{1}{a_n}$
> $2$b_n=\frac{1}{a_n}$ とおいて
> $2$b_n=\frac{n+1}{n-1}b_{n-1}=\frac{n+1}{n-1}\times\frac{n}{n-2}\times\frac{n-1}{n-3}\times......\times\frac{3}{1}b_1=\frac{n(n+1)}{2}\times2=n(n+1)$ ここから $2$a_n$ が求まるのはわかるんですが、なぜ上のような解法になるのかがまったくわかりませんので教えてください。

「分数式の漸化式は逆数をとってみる」のが解法です。

この問題では、 $2$b_{n+1}=\frac{n+1}{n-1}\cdot b_n$ という漸化式に書き直すことができます。
こうなると、右辺を $2$b_1$ までさかのぼることができます(等比数列の漸化式と同じ)ので、一般項 $2$b_n$ がわかるわけです。

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■14444 / inTopicNo.3)

　Re[2]: また図々しいんですが

▲▼■

□投稿者/ kennti 一般人(3回)-(2006/07/09(Sun) 06:26:37)

■No14427に返信(miyupさんの記事)
> 2006/07/08(Sat) 14:31:41 編集(投稿者)
>
> ■No14425に返信(kenntiさんの記事)
>>次の数列の一般項と和を求めよという問題なのですが、 $2$a_1=\frac{1}{2},a_{n+1}=\frac{na_n}{n+2}$ さっぱりです。
>>解答では $2$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}\times\frac{1}{a_n}$
>> $2$b_n=\frac{1}{a_n}$ とおいて
>> $2$b_n=\frac{n+1}{n-1}b_{n-1}=\frac{n+1}{n-1}\times\frac{n}{n-2}\times\frac{n-1}{n-3}\times......\times\frac{3}{1}b_1=\frac{n(n+1)}{2}\times2=n(n+1)$
また質問なんですが、なぜ $2$b_n=$ のところからどんどんあのような掛け算に
なっているんですか？

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■14450 / inTopicNo.4)

　Re[3]: また図々しいんですが

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(409回)-(2006/07/09(Sun) 11:52:42)

2006/07/09(Sun) 11:54:48 編集(投稿者)

■No14444に返信(kenntiさんの記事)
> ■No14427に返信(miyupさんの記事)
>> $2$b_n=\frac{n+1}{n-1}b_{n-1}=\frac{n+1}{n-1}\times\frac{n}{n-2}\times\frac{n-1}{n-3}\times......\times\frac{3}{1}b_1=\frac{n(n+1)}{2}\times2=n(n+1)$
> また質問なんですが、なぜ $2$b_n=$ のところからどんどんあのような掛け算に
> なっているんですか？

$2$b_n=\frac{n+1}{n-1}b_{n-1}=\frac{n+1}{n-1}\cdot\frac{n}{n-2}b_{n-2}=\frac{n+1}{n-1}\frac{n}{n-2}\cdot \frac{n-1}{n-3}b_{n-3}=\cdots=\frac{n+1}{n-1}\frac{n}{n-2}\frac{n-1}{n-3}\cdots\frac{4}{2}b_2=\frac{n+1}{n-1}\frac{n}{n-2}\frac{n-1}{n-3}\cdots\frac{4}{2}\cdot\frac{3}{1}b_1$

と、かけ算がのびていきます。

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■14451 / inTopicNo.5)

　Re[4]: また図々しいんですが

▲▼■

□投稿者/ kennti 一般人(5回)-(2006/07/09(Sun) 12:43:47)

■No14450に返信(miyupさんの記事)
> 2006/07/09(Sun) 11:54:48 編集(投稿者)
>
> ■No14444に返信(kenntiさんの記事)
>>■No14427に返信(miyupさんの記事)
> >> $2$b_n=\frac{n+1}{n-1}b_{n-1}=\frac{n+1}{n-1}\times\frac{n}{n-2}\times\frac{n-1}{n-3}\times......\times\frac{3}{1}b_1=\frac{n(n+1)}{2}\times2=n(n+1)$
ではなぜ最後の $2$\frac{n(n+1)}{2}\times2$ のようになるのですか？

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■14452 / inTopicNo.6)

　Re[5]: また図々しいんですが

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(410回)-(2006/07/09(Sun) 13:12:20)

■No14451に返信(kenntiさんの記事)
> ■No14450に返信(miyupさんの記事)
>>2006/07/09(Sun) 11:54:48 編集(投稿者)
>>
>>■No14444に返信(kenntiさんの記事)
> >>■No14427に返信(miyupさんの記事)
>>>> $2$b_n=\frac{n+1}{n-1}b_{n-1}=\frac{n+1}{n-1}\times\frac{n}{n-2}\times\frac{n-1}{n-3}\times......\times\frac{3}{1}b_1=\frac{n(n+1)}{2}\times2=n(n+1)$
> ではなぜ最後の $2$\frac{n(n+1)}{2}\times2$ のようになるのですか？

途中が約分できるのがわかりますか？

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■14502 / inTopicNo.7)

　Re[6]: また図々しいんですが

▲▼■

□投稿者/ kennti 一般人(7回)-(2006/07/10(Mon) 04:43:18)

■No14452に返信(miyupさんの記事)
> ■No14451に返信(kenntiさんの記事)
>>■No14450に返信(miyupさんの記事)
> >>2006/07/09(Sun) 11:54:48 編集(投稿者)
> >>
> >>■No14444に返信(kenntiさんの記事)
>>>>■No14427に返信(miyupさんの記事)
> >>>> $2$b_n=\frac{n+1}{n-1}b_{n-1}=\frac{n+1}{n-1}\times\frac{n}{n-2}\times\frac{n-1}{n-3}\times......\times\frac{3}{1}b_1=\frac{n(n+1)}{2}\times2=n(n+1)$
>>ではなぜ最後の $2$\frac{n(n+1)}{2}\times2$ のようになるのですか？
>
> 途中が約分できるのがわかりますか？
一つ抜かしで約分されているのはわかりますが、やはり結果がわかりません。

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■14506 / inTopicNo.8)

　Re[7]: また図々しいんですが

▲▼■

□投稿者/ miyup 大御所(414回)-(2006/07/10(Mon) 08:12:13)

■No14502に返信(kenntiさんの記事)
> ■No14452に返信(miyupさんの記事)
>>■No14451に返信(kenntiさんの記事)
> >>■No14450に返信(miyupさんの記事)
>>>>2006/07/09(Sun) 11:54:48 編集(投稿者)
>>>>
>>>>■No14444に返信(kenntiさんの記事)
> >>>>■No14427に返信(miyupさんの記事)
>>>>>>
> >>ではなぜ最後ののようになるのですか？
>>
>>途中が約分できるのがわかりますか？
> 一つ抜かしで約分されているのはわかりますが、やはり結果がわかりません。

分子には、n+1,n,n-1,…,5,4,3
分母には、      n-1,…,5,4,3,2,1　よって約分すると、(n+1)n/2

あと、b1=1/a1=2 です。

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■14800 / inTopicNo.9)

　Re[8]: また図々しいんですが

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□投稿者/ kennti 一般人(8回)-(2006/07/18(Tue) 15:25:57)

■No14506に返信(miyupさんの記事)
> ■No14502に返信(kenntiさんの記事)
>>■No14452に返信(miyupさんの記事)
> >>■No14451に返信(kenntiさんの記事)
>>>>■No14450に返信(miyupさんの記事)
> >>>>2006/07/09(Sun) 11:54:48 編集(投稿者)
> >>>>
> >>>>■No14444に返信(kenntiさんの記事)
>>>>>>■No14427に返信(miyupさんの記事)
> >>>>>> $2$b_n=\frac{n+1}{n-1}b_{n-1}=\frac{n+1}{n-1}\times\frac{n}{n-2}\times\frac{n-1}{n-3}\times......\times\frac{3}{1}b_1=\frac{n(n+1)}{2}\times2=n(n+1)$
>>>>ではなぜ最後の $2$\frac{n(n+1)}{2}\times2$ のようになるのですか？
> >>
> >>途中が約分できるのがわかりますか？
>>一つ抜かしで約分されているのはわかりますが、やはり結果がわかりません。
>
> 分子には、n+1,n,n-1,…,5,4,3
> 分母には、 n-1,…,5,4,3,2,1　よって約分すると、(n+1)n/2
>
> あと、b1=1/a1=2 です。
>
遅くなりました～。わかりました。ありがとうございます！！

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