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■14427 / )

　Re[1]: また図々しいんですが

□投稿者/ miyup 大御所(402回)-(2006/07/08(Sat) 12:09:27)

2006/07/08(Sat) 14:31:41 編集(投稿者)

■No14425に返信(kenntiさんの記事)
> 次の数列の一般項と和を求めよという問題なのですが、 $2$a_1=\frac{1}{2},a_{n+1}=\frac{na_n}{n+2}$ さっぱりです。
> 解答では $2$\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{n+2}{n}\times\frac{1}{a_n}$
> $2$b_n=\frac{1}{a_n}$ とおいて
> $2$b_n=\frac{n+1}{n-1}b_{n-1}=\frac{n+1}{n-1}\times\frac{n}{n-2}\times\frac{n-1}{n-3}\times......\times\frac{3}{1}b_1=\frac{n(n+1)}{2}\times2=n(n+1)$ ここから $2$a_n$ が求まるのはわかるんですが、なぜ上のような解法になるのかがまったくわかりませんので教えてください。

「分数式の漸化式は逆数をとってみる」のが解法です。

この問題では、 $2$b_{n+1}=\frac{n+1}{n-1}\cdot b_n$ という漸化式に書き直すことができます。
こうなると、右辺を $2$b_1$ までさかのぼることができます(等比数列の漸化式と同じ)ので、一般項 $2$b_n$ がわかるわけです。

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