数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: ベクトル / Page: 0]

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■12252 / inTopicNo.1)

　ベクトル

□投稿者/ ぱ一般人(4回)-(2006/05/19(Fri) 15:45:36)

△OABの辺OAをp:1-pの比に内分する点をM,辺OBをq:1-qの比に
内分する点をNとする。線分ANと線分BMの交点をP,線分OPの延長が
ABと交わる点をQとする。ただし、0<p<1.0<q<1とする。
(1)a↑=OA↑,b↑=OB↑とするとき、ベクトルOP↑をa↑,b↑とp,qで表せ。
(2)AQ:QB=r:1-rとしたとき、rをp,qで表せ。

チェバ・メネラウスの定理を使わない方法で解く式を教えて欲しいです。
(1)はぎりぎり教科書を見たら分かったんですが
(2)がちょっと分かりませんでした。
なので、(2)を重点的に教えて欲しいです。
おねがいします。

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■12258 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ベクトル

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□投稿者/ 平木慎一郎ベテラン(208回)-(2006/05/19(Fri) 16:07:42)

■No12252に返信(ぱさんの記事)
> △OABの辺OAをp:1-pの比に内分する点をM,辺OBをq:1-qの比に
> 内分する点をNとする。線分ANと線分BMの交点をP,線分OPの延長が
> ABと交わる点をQとする。ただし、0<p<1.0<q<1とする。
> (1)a↑=OA↑,b↑=OB↑とするとき、ベクトルOP↑をa↑,b↑とp,qで表せ。
> (2)AQ:QB=r:1-rとしたとき、rをp,qで表せ。
>
> チェバ・メネラウスの定理を使わない方法で解く式を教えて欲しいです。
> (1)はぎりぎり教科書を見たら分かったんですが
> (2)がちょっと分かりませんでした。
r= $2$\frac{{\frac{{(1-q)p}}{{(1-p)q}}}}{{1+\frac{{(1-q)p}}{{(1-p)q}}}}$
> なので、(2)を重点的に教えて欲しいです。
> おねがいします。

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■12260 / inTopicNo.3)

　Re[1]: ベクトル

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□投稿者/ miyup 一般人(37回)-(2006/05/19(Fri) 16:12:22)

■No12252に返信(ぱさんの記事)

> (2)AQ:QB=r:1-rとしたとき、rをp,qで表せ。

(1)より
$2$\vec{OP}=\frac{p(1-q)}{1-pq}\vec{OA}+\frac{q(1-p)}{1-pq}\vec{OB}$
となっていますね。

ここで、 $2$\vec{OP}=\frac{q(1-p)+p(1-q)}{1-pq}\cdot \frac{p(1-q)\vec{OA}+q(1-p)\vec{OB}}{q(1-p)+p(1-q)}$

と変形すると、 $2$\frac{p(1-q)\vec{OA}+q(1-p)\vec{OB}}{q(1-p)+p(1-q)}=\vec{OQ}$

より、点Qは線分ABを $2$q(1-p):p(1-q)$ に内分することがわかります。

$2$AQ:QB=r:(1-r)=q(1-p):p(1-q)$ のとき、 $2$r=q(1-p)$ としてよいですね。

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■12262 / inTopicNo.4)

　Re[2]: ベクトル

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□投稿者/ miyup 一般人(38回)-(2006/05/19(Fri) 16:16:36)

■No12260に返信(miyupさんの記事)

> $2$AQ:QB=r:(1-r)=q(1-p):p(1-q)$ のとき、

× $2$r=q(1-p)$ としてよいですね

ごめんなさい。まちがえました。

$2$r=\frac{q(1-p)}{p(1-q)+q(1-p)}$

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■12264 / inTopicNo.5)

　Re[3]: ベクトル

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□投稿者/ 平木慎一郎ベテラン(210回)-(2006/05/19(Fri) 16:23:50)

■No12262に返信(miyupさんの記事)
> ■No12260に返信(miyupさんの記事)
>
>> $2$AQ:QB=r:(1-r)=q(1-p):p(1-q)$ のとき、
>
> × $2$r=q(1-p)$ としてよいですね
>
> ごめんなさい。まちがえました。
>
> $2$r=\frac{q(1-p)}{p(1-q)+q(1-p)}$
僕の答えと分子が微妙に違います。
どこか間違えたようです。（僕が）

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■12265 / inTopicNo.6)

　Re[4]: ベクトル

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□投稿者/ miyup 一般人(39回)-(2006/05/19(Fri) 16:27:07)

■No12264に返信(平木慎一郎さんの記事)

>> $2$r=\frac{q(1-p)}{p(1-q)+q(1-p)}$

> 僕の答えと分子が微妙に違います。
> どこか間違えたようです。（僕が）

もしかしてQB(=1-r)の方かも

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■12266 / inTopicNo.7)

　Re[5]: ベクトル

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□投稿者/ 平木慎一郎ベテラン(212回)-(2006/05/19(Fri) 16:28:39)

■No12265に返信(miyupさんの記事)
> ■No12264に返信(平木慎一郎さんの記事)
>
> >> $2$r=\frac{q(1-p)}{p(1-q)+q(1-p)}$
>
>>僕の答えと分子が微妙に違います。
>>どこか間違えたようです。（僕が）
>
> もしかしてQB(=1-r)の方かも
原因がわかりました。初歩的なpとqの書き間違いが途中で・・・

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■12334 / inTopicNo.8)

　Re[6]: ベクトル

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□投稿者/ miyup 一般人(44回)-(2006/05/20(Sat) 09:58:38)

■No12266に返信(平木慎一郎さんの記事)

> 原因がわかりました。初歩的なpとqの書き間違いが途中で・・・

よくあることです（開き直り！）

私も No12145 でDとPを間違いました。

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■12403 / inTopicNo.9)

　Re[2]: ベクトル

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□投稿者/ ぱ一般人(12回)-(2006/05/21(Sun) 14:36:14)

■No12260に返信(miyupさんの記事)
> ■No12252に返信(ぱさんの記事)
>
>>(2)AQ:QB=r:1-rとしたとき、rをp,qで表せ。
>
> (1)より
> $2$\vec{OP}=\frac{p(1-q)}{1-pq}\vec{OA}+\frac{q(1-p)}{1-pq}\vec{OB}$
> となっていますね。
>
> ここで、 $2$\vec{OP}=\frac{q(1-p)+p(1-q)}{1-pq}\cdot \frac{p(1-q)\vec{OA}+q(1-p)\vec{OB}}{q(1-p)+p(1-q)}$
>

この上の式の変形がよく分かりません。
どうして式にある数式をかけたらOQ↑に変形できるんでしょうか？
どうしてこういう発想ができるのか知りたいです。
おねがいします。

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■12407 / inTopicNo.10)

　Re[3]: ベクトル

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□投稿者/ miyup 付き人(56回)-(2006/05/21(Sun) 15:25:17)

■No12403に返信(ぱさんの記事)

>>ここで、 $2$\vec{OP}=\frac{q(1-p)+p(1-q)}{1-pq}\cdot \frac{p(1-q)\vec{OA}+q(1-p)\vec{OB}}{q(1-p)+p(1-q)}$
>>
> この上の式の変形がよく分かりません。
> どうして式にある数式をかけたらOQ↑に変形できるんでしょうか？
> どうしてこういう発想ができるのか知りたいです。
> おねがいします。

形式的に、 $2$\vec{OP}=\frac{x}{1-pq}\cdot \frac{p(1-q)\vec{OA}+q(1-p)\vec{OB}}{x}$ と変形できますね？
この $2$x$ は０以外ならなんでもＯＫです。

ここで $2$x=q(1-p)+p(1-q)$ とすれば、問題の式変形になるわけですが
なぜそうするかというと、分子の $2$p(1-q)\vec{OA}+q(1-p)\vec{OB}$ を

内分の公式の分子と「みなす」からです。

つまり、 $2$\frac{n\vec{OA}+m\vec{OB}}{m+n}$ の形です。

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■12408 / inTopicNo.11)

　Re[4]: ベクトル

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□投稿者/ miyup 付き人(57回)-(2006/05/21(Sun) 15:28:36)

■No12407に返信(miyupさんの記事)

> つまり、 $2$\frac{n\vec{OA}+m\vec{OB}}{m+n}$ の形です。

この形がきたら、ＡＢをm:nに分けるベクトルがある　と認識すればよいのです。

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■12457 / inTopicNo.12)

　Re[5]: ベクトル

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□投稿者/ ぱ一般人(14回)-(2006/05/22(Mon) 18:32:13)

ありがとうございました
分かりました。

解決済み!

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