数学ナビゲーター掲示板 [No12145 の記事表示]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ2 を表示中)

No12145 の記事

■12145 / )

　Re[1]: 角の最大値

□投稿者/ miyup 一般人(13回)-(2006/05/16(Tue) 18:15:10)

■No12135に返信(ぱぺっと☆まぺっとさんの記事)
> 三角OABの辺OA,OBの辺上または点A,Bのほうの延長上にそれぞれ
> 点C,Dをとり、OA:OC=OB:OD=1:k (k>0)となるようにする。
> 次に平行四辺形OCPB,平行四辺形OAQDをつくり
> OA^2 +OB^2=5,OP^2 +OQ^2=9k^2 +8
> を満たすようにする。OA:OB=1:2でkを動かしたとき、∠AOBの大きさの
> 最大値を求めよ。

$2$OA^2+OB^2=5, OA:OB=1:2$ より、実際に $2$OA=1,OB=2$ としてよいですね。
このとき、 $2$OC=k, OD=2k$ です。また $2$CP=OB=2,DQ=OA=1$ です。

簡単のために、∠AOB= $2$\theta$ とおくと、
∠OCD=∠ODQ= $2$180^{\circ}-\theta$ より、
△OCD,△ODQへの余弦定理により、
$2$OP^2=OC^2+CP^2-2OC\cdot CP\cos (180^{\circ}-\theta)=k^2+4+4k\cos \theta$
$2$OQ^2= \cdots =4k^2+1+4k\cos \theta$
ここで、条件より
$2$OP^2+OQ^2=5k^2+5+8k\cos \theta =9k^2+8$
すなわち
$2$\cos \theta =\frac{4k^2+3}{8k}$
あとはこの式の右辺の最小値が左辺の $2$\theta$ の最大値を決める。

$2$f(k)=\frac{4k^2+3}{8k}$ とおけば、
まず定義域として、 $2$-1\leq \cos \theta \leq 1$ より
$2$-1 \leq \frac{4k^2+3}{8k} \leq 1$
$2$k>0$ に注意して解くと、 $2$\frac{1}{2}\leq k \leq \frac{3}{2}$ .

上記の範囲で微分・増減表を作ると、 $2$\frac{\sqrt{3}}{2}\leq f(k)=\cos \theta \leq 1$
よって、 $2$30^{\circ} \geq \theta \geq 0^{\circ}$ となり、
最大値は、 $2$\theta=30^{\circ}$

…もっと簡単にできる方いませんか？

返信/引用返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター