数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: もう一問 / Page: 0]

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■11786 / inTopicNo.1)

　もう一問

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□投稿者/ たくみん一般人(14回)-(2006/05/08(Mon) 22:37:47)

循環小数の0.999999999999999999………
を分数に直せ。

面白いことになるとおもいます。
考えをお聞かせください＾＾

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■11806 / inTopicNo.2)

　Re[1]: もう一問

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□投稿者/ 平木慎一郎軍団(137回)-(2006/05/09(Tue) 20:28:41)

■No11786に返信(たくみんさんの記事)
> 循環小数の0.999999999999999999………
> を分数に直せ。
>
> 面白いことになるとおもいます。
> 考えをお聞かせください＾＾
たしかに興味深いところです。計算上、たとえば無限等比級数を利用すると $2$\frac{{0.9}}{{1-0.1}}=1$ ですね。実は数学では1=0.99999999・・・
とすることがたまにあるようです。さらに補足として1÷1というのを少し変わった方法で筆算してみるという確かめ方があります。商に0.と立て、下に10としてしまいます。ここで1×9=9から小数第一位に9が立ちます。これを繰り返せば1÷1=0.99999999・・・・・とも言えるのです。

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■11818 / inTopicNo.3)

　Re[2]: もう一問

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□投稿者/ せら。一般人(7回)-(2006/05/10(Wed) 09:39:58)

■No11806に返信(平木慎一郎さんの記事)
> ■No11786に返信(たくみんさんの記事)
>>循環小数の0.999999999999999999………
>>を分数に直せ。
>>
>>面白いことになるとおもいます。
>>考えをお聞かせください＾＾
> たしかに興味深いところです。計算上、たとえば無限等比級数を利用すると $2$\frac{{0.9}}{{1-0.1}}=1$ ですね。実は数学では1=0.99999999・・・
> とすることがたまにあるようです。

たまに，というと語弊があるのですよー。
無限等比級数など持ち出さなくとも，普通に実数を考えてるときは0.999999999999999999………＝１
となってしまうのです。というか，そうでないと実数が数直線にならない。
＃確認，という意味では計算してみる，というのは非常に有意義なんですけどね。
＃引用略としますが，このあとの「分数の筆算」も同じ。
＃ちなみに，一番楽だと思う「直感的証明」は $2$ \frac{1}{3}\cdot3=1$ だと思う。
そもそも，よく見るこの問題の「問題点」は「……ってなに？」ということをきちんと理解されぬまま議論がなされているのではないか？というところにあります。
0.999999999999999999………って，よく考えたら「数」じゃないですよね。桁数（小数点以下の）が分からないし，「無限に9が続く」ってどういうことなんでしょう？ここをきちんと見ておかないと，結局「なんなんだろ」ということになります。
以下，数学としての「説明」を書きます。ただし，やや内容は高度，というかめんどくさいです。
「……」っていうのをどう考えるか。まず
0.9
0.99
0.999
0.9999
という風に「後ろに9をつける」という操作で数列を考えます。
これを続けていくと，「1」に近づいていく事はわかります。ただ，桁数は有限なので，このままではどうがんばっても「1」そのものにはなりません。
でも，これをずーっと続けていくと1にどんどん近づいていくわけですよね。
＃数IIIの言葉でいう「極限」です。
ずーっと続けていって，「無限」に続けられたとしたら（実際には無理なんですけど）どうなるか，って言うことを考えましょう。
1に近いけど1じゃない，ってことは
0.99999999999999999999（９が20個）
みたいに，どこか有限で止めることが出来てるはずですよね。ということは，これの後ろに9をくっつけて
0.999999999999999999999（９が21個）
と，「より1に近い数」を作ることが出来る。
でも，無限に続けたら有限個で9がとまらないわけですから，9が後ろにくっつけられない，つまり「より1に近い数」を作ることがもう出来ない。1に近くて，もうそれ以上1に近づけない，ってことは，1そのものですよね。
そこで，無限に9を続けるよー，ってことを「…」という記号を使って書けば
0.999999999999999999………＝１
という風にかけるわけです。
＃ε-δによる極限構成です。きちんとやろうとすると大学の内容。
＃数学的に厳密なことを言うと，「実数の連続性」が関わってくることです。

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■11824 / inTopicNo.4)

　Re[3]: もう一問

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□投稿者/ 平木慎一郎軍団(140回)-(2006/05/10(Wed) 18:59:55)

■No11818に返信(せら。さんの記事)
> ■No11806に返信(平木慎一郎さんの記事)
>>■No11786に返信(たくみんさんの記事)
> >>循環小数の0.999999999999999999………
> >>を分数に直せ。
> >>
> >>面白いことになるとおもいます。
> >>考えをお聞かせください＾＾
>>たしかに興味深いところです。計算上、たとえば無限等比級数を利用すると $2$\frac{{0.9}}{{1-0.1}}=1$ ですね。実は数学では1=0.99999999・・・
>>とすることがたまにあるようです。
>
> たまに，というと語弊があるのですよー。
> 無限等比級数など持ち出さなくとも，普通に実数を考えてるときは0.999999999999999999………＝１
> となってしまうのです。というか，そうでないと実数が数直線にならない。
> ＃確認，という意味では計算してみる，というのは非常に有意義なんですけどね。
> ＃引用略としますが，このあとの「分数の筆算」も同じ。
> ＃ちなみに，一番楽だと思う「直感的証明」は $2$ \frac{1}{3}\cdot3=1$ だと思う。
> そもそも，よく見るこの問題の「問題点」は「……ってなに？」ということをきちんと理解されぬまま議論がなされているのではないか？というところにあります。
> 0.999999999999999999………って，よく考えたら「数」じゃないですよね。桁数（小数点以下の）が分からないし，「無限に9が続く」ってどういうことなんでしょう？ここをきちんと見ておかないと，結局「なんなんだろ」ということになります。
> 以下，数学としての「説明」を書きます。ただし，やや内容は高度，というかめんどくさいです。
> 「……」っていうのをどう考えるか。まず
> 0.9
> 0.99
> 0.999
> 0.9999
> という風に「後ろに9をつける」という操作で数列を考えます。
> これを続けていくと，「1」に近づいていく事はわかります。ただ，桁数は有限なので，このままではどうがんばっても「1」そのものにはなりません。
> でも，これをずーっと続けていくと1にどんどん近づいていくわけですよね。
> ＃数IIIの言葉でいう「極限」です。
> ずーっと続けていって，「無限」に続けられたとしたら（実際には無理なんですけど）どうなるか，って言うことを考えましょう。
> 1に近いけど1じゃない，ってことは
> 0.99999999999999999999（９が20個）
> みたいに，どこか有限で止めることが出来てるはずですよね。ということは，これの後ろに9をくっつけて
> 0.999999999999999999999（９が21個）
> と，「より1に近い数」を作ることが出来る。
> でも，無限に続けたら有限個で9がとまらないわけですから，9が後ろにくっつけられない，つまり「より1に近い数」を作ることがもう出来ない。1に近くて，もうそれ以上1に近づけない，ってことは，1そのものですよね。
> そこで，無限に9を続けるよー，ってことを「…」という記号を使って書けば
> 0.999999999999999999………＝１
> という風にかけるわけです。
> ＃ε-δによる極限構成です。きちんとやろうとすると大学の内容。
> ＃数学的に厳密なことを言うと，「実数の連続性」が関わってくることです。
「たまに」というのはこうゆう疑問を持ち出すと初めてならおそらく深く考えます。普段1=1だったのが0.9999・・・∞=1とするのですから今の段階で「たまに」ではいけないでしょうか？解析的に、もっと先のことまで学んでる方ならば誤りであると言う指摘はあるでしょうけども。

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■11826 / inTopicNo.5)

　Re[4]: もう一問

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□投稿者/ 平木慎一郎軍団(142回)-(2006/05/10(Wed) 19:10:29)

すいません僕が誤りました。申し訳ありません。

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■11828 / inTopicNo.6)

　Re[4]: もう一問

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□投稿者/ せら。一般人(9回)-(2006/05/10(Wed) 19:18:32)

平木さんの主張がうまく読み取れなくて申し訳ないのですが…
少なくとも，「語弊がある」という言い方をしたことがうまく伝わってないようですが。
＃間違ってる，とは言ってないんですよ。

とりあえず，現段階では「たまに」見かける程度かもしれませんが，「たまに」こうすることがある（つまり，こうしない（できない）ことがある）ということではありませんよね。先の文面ではそう読み取らざるを得ないし，それは明らかに「数学として」誤りです。先ほども書きましたがこのことは常に事実ですし，これは数直線の考え方にかかわってくるところです。
＃ちなみに，私が前に書いた説明はぜんぜん「数学的」じゃないんですよ。むしろ言葉で説明した国語的なものに近い。数学的に突き詰めていくと，曖昧な点も実はたくさんあるのですが，それはこの掲示板には則さないでしょう。
＃数学的に十分能力のある平木さんのような人が，数学でない論述の部分で損をするのは非常にもったいないことだと思っています。

それに，この疑問の根源は
> 普段1=1だったのが0.9999・・・∞=1とする
ということではなく（とくに前半部分はほとんど関係がなく），一見して違うように見える
0．999999…と1が等しい
という，直観的には「なぜ？」と思えるような事実がある，というところなんだと思うのですよね。
実は数の書き方にもいろいろあるんだよ，分数と小数の関係のように，1にもいろんな書き方があるんだよ，という，小難しい「数学」（むしろ算数）とはちょっと離れたところにある事実を「数学として」考えるのは，非常に難しいんです。

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■11829 / inTopicNo.7)

　Re[5]: もう一問

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□投稿者/ 平木慎一郎軍団(144回)-(2006/05/10(Wed) 19:24:18)

■No11828に返信(せら。さんの記事)
> 平木さんの主張がうまく読み取れなくて申し訳ないのですが…
> 少なくとも，「語弊がある」という言い方をしたことがうまく伝わってないようですが。
> ＃間違ってる，とは言ってないんですよ。
>
> とりあえず，現段階では「たまに」見かける程度かもしれませんが，「たまに」こうすることがある（つまり，こうしない（できない）ことがある）ということではありませんよね。先の文面ではそう読み取らざるを得ないし，それは明らかに「数学として」誤りです。先ほども書きましたがこのことは常に事実ですし，これは数直線の考え方にかかわってくるところです。
> ＃ちなみに，私が前に書いた説明はぜんぜん「数学的」じゃないんですよ。むしろ言葉で説明した国語的なものに近い。数学的に突き詰めていくと，曖昧な点も実はたくさんあるのですが，それはこの掲示板には則さないでしょう。
> ＃数学的に十分能力のある平木さんのような人が，数学でない論述の部分で損をするのは非常にもったいないことだと思っています。
>
> それに，この疑問の根源は
>>普段1=1だったのが0.9999・・・∞=1とする
> ということではなく（とくに前半部分はほとんど関係がなく），一見して違うように見える
> 0．999999…と1が等しい
> という，直観的には「なぜ？」と思えるような事実がある，というところなんだと思うのですよね。
> 実は数の書き方にもいろいろあるんだよ，分数と小数の関係のように，1にもいろんな書き方があるんだよ，という，小難しい「数学」（むしろ算数）とはちょっと離れたところにある事実を「数学として」考えるのは，非常に難しいんです。
いいえ、僕の文章がおかしかったです。気をつけます。

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■11898 / inTopicNo.8)

　Re[1]: もう一問

▲▼■

□投稿者/ 壱拾弐番一般人(1回)-(2006/05/12(Fri) 21:13:40)

■No11786に返信(たくみんさんの記事)
> 循環小数の0.999999999999999999………
> を分数に直せ。
>
> 面白いことになるとおもいます。
> 考えをお聞かせください＾＾

これ面白いですね。
　　0,9999・・・・＝x
－）9,9999・・・・＝１０x
―――――――――――――
-9=-9x で、ｘが１になっちゃうんですねｗ　数学楽しいですねー。
ってかクラスのPCがWindowsじゃないので使いずらいですよね平木君。

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■12222 / inTopicNo.9)

　Re[2]: もう一問

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□投稿者/ たくみん一般人(18回)-(2006/05/18(Thu) 20:12:57)

はい。数学はとても奥が深く、考えさせられるものです。
今高1なのですが、これからも頑張っていきたいとおもいます。
様々なご意見有難うございました！

ここの掲示板のひとは皆やさしいですね＾＾

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