□投稿者/ せら。 一般人(7回)-(2006/05/10(Wed) 09:39:58)
 | ■No11806に返信(平木慎一郎さんの記事)
> ■No11786に返信(たくみんさんの記事)
>>循環小数の0.999999999999999999………
>>を分数に直せ。
>>
>>面白いことになるとおもいます。
>>考えをお聞かせください＾＾
> たしかに興味深いところです。計算上、たとえば無限等比級数を利用すると ですね。実は数学では1=0.99999999・・・
> とすることがたまにあるようです。
たまに，というと語弊があるのですよー。
無限等比級数など持ち出さなくとも，普通に実数を考えてるときは0.999999999999999999………＝１
となってしまうのです。というか，そうでないと実数が数直線にならない。
＃確認，という意味では計算してみる，というのは非常に有意義なんですけどね。
＃引用略としますが，このあとの「分数の筆算」も同じ。
＃ちなみに，一番楽だと思う「直感的証明」は だと思う。
そもそも，よく見るこの問題の「問題点」は「……ってなに？」ということをきちんと理解されぬまま議論がなされているのではないか？というところにあります。
0.999999999999999999………って，よく考えたら「数」じゃないですよね。桁数（小数点以下の）が分からないし，「無限に9が続く」ってどういうことなんでしょう？ここをきちんと見ておかないと，結局「なんなんだろ」ということになります。
以下，数学としての「説明」を書きます。ただし，やや内容は高度，というかめんどくさいです。
「……」っていうのをどう考えるか。まず
0.9
0.99
0.999
0.9999
という風に「後ろに9をつける」という操作で数列を考えます。
これを続けていくと，「1」に近づいていく事はわかります。ただ，桁数は有限なので，このままではどうがんばっても「1」そのものにはなりません。
でも，これをずーっと続けていくと1にどんどん近づいていくわけですよね。
＃数IIIの言葉でいう「極限」です。
ずーっと続けていって，「無限」に続けられたとしたら（実際には無理なんですけど）どうなるか，って言うことを考えましょう。
1に近いけど1じゃない，ってことは
0.99999999999999999999（９が20個）
みたいに，どこか有限で止めることが出来てるはずですよね。ということは，これの後ろに9をくっつけて
0.999999999999999999999（９が21個）
と，「より1に近い数」を作ることが出来る。
でも，無限に続けたら有限個で9がとまらないわけですから，9が後ろにくっつけられない，つまり「より1に近い数」を作ることがもう出来ない。1に近くて，もうそれ以上1に近づけない，ってことは，1そのものですよね。
そこで，無限に9を続けるよー，ってことを「…」という記号を使って書けば
0.999999999999999999………＝１
という風にかけるわけです。
＃ε-δによる極限構成です。きちんとやろうとすると大学の内容。
＃数学的に厳密なことを言うと，「実数の連続性」が関わってくることです。
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