数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 楕円に関する問題 / Page: 0]

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■10546 / inTopicNo.1)

　楕円に関する問題

□投稿者/ Mst 一般人(1回)-(2006/03/31(Fri) 18:50:12)

楕円 $2$x^2/17+y^2/8=1$ の外部にある点Pから2本の接線を引くとき、
この2本が直交するときの点Pの軌跡を求めよ。

：円 $2$x^2+y^2=a^2+b^2$ になると考えたのですが、証明ができません。
教えてください。

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■10547 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 楕円に関する問題

▲▼■

□投稿者/ リストっち大御所(252回)-(2006/03/31(Fri) 19:36:10)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

■No10546に返信(Mstさんの記事)
> 楕円 $2$x^2/17+y^2/8=1$ の外部にある点Pから2本の接線を引くとき、
> この2本が直交するときの点Pの軌跡を求めよ。
>
> ：円 $2$x^2+y^2=a^2+b^2$ になると考えたのですが、証明ができません。
> 教えてください。

楕円 $2$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 外の点P( $2$x_0$ , $2$y_0$ )から引いた2つの接線が直交するような点Pの軌跡とします．

接線の傾きをmとすると，接線の方程式は， $2$y=m(x-x_0)+y_0$ だから，楕円との交点について，
$2$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(m(x-x_0)+y_0)^2}{b^2}=1$
$2$b^2x^2+a^2(mx-mx_0+y_0)^2=a^2b^2$
$2$(a^2m+b^2)x^2-2a^2m(mx_0-y_0)x+a^2(mx_0-y_0)^2-a^2b^2=0$
接するので，重解を持つ．判別式Dについて，
$2$\frac{D}{4}=a^4m^2(mx_0-y_0)^2-a^2(a^2m^2+b^2)((mx_0-y_0)^2-b^2)$
$2$=a^4m^2(x_0^2m^2-2x_0y_0m+y_0^2)$
　 $2$-(a^4m^2+a^2b^2)(x_0^2m^2-2x_0y_0m+y_0^2-b^2)=0$
$2$a^4x_0^2m^4-2a^4x_0y_0m^3-a^4y_0^2m^2-a^4x_0^2m^4$
　 $2$+2a^4x_0y_0m^3-a^4(y_0^2-b^2)m^2-a^2b^2x_0^2m^2$
　　 $2$+2a^2b^2x_0y_0m-a^2b^2(y_0^2-b^2)=0$
$2$a^2b^2(a^2-x_0^2)m^2+2a^2b^2x_0y_0m-a^2b^2(y_0^2-b^2)=0$
$2$(a^2-x_0^2)+2x_0y_0m-(y_0^2-b^2)=0$
傾きの積が-1より，解と係数の関係から，
$2$\frac{y_0^2-b^2}{a^2-x_0^2}=1$
$2$x_0^2+y_0^2=a^2+b^2$
よって，準円の方程式は，
$2$x^2+y^2=a^2+b^2$
である．■

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■10558 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 楕円に関する問題

▲▼■

□投稿者/ Mst 一般人(2回)-(2006/04/01(Sat) 06:41:46)

■No10547に返信(リストっちさんの記事)
> ■No10546に返信(Mstさんの記事)
>>楕円 $2$x^2/17+y^2/8=1$ の外部にある点Pから2本の接線を引くとき、
>>この2本が直交するときの点Pの軌跡を求めよ。
>>
>>：円 $2$x^2+y^2=a^2+b^2$ になると考えたのですが、証明ができません。
>>教えてください。
>
> 楕円 $2$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 外の点P( $2$x_0$ , $2$y_0$ )から引いた2つの接線が直交するような点Pの軌跡とします．
>
> 接線の傾きをmとすると，接線の方程式は， $2$y=m(x-x_0)+y_0$ だから，楕円との
交点について，
傾きが0の場合ってないんですか？
> $2$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(m(x-x_0)+y_0)^2}{b^2}=1$
> $2$b^2x^2+a^2(mx-mx_0+y_0)^2=a^2b^2$
> $2$(a^2m+b^2)x^2-2a^2m(mx_0-y_0)x+a^2(mx_0-y_0)^2-a^2b^2=0$
> 接するので，重解を持つ．判別式Dについて，
> $2$\frac{D}{4}=a^4m^2(mx_0-y_0)^2-a^2(a^2m^2+b^2)((mx_0-y_0)^2-b^2)$
> $2$=a^4m^2(x_0^2m^2-2x_0y_0m+y_0^2)$
> 　 $2$-(a^4m^2+a^2b^2)(x_0^2m^2-2x_0y_0m+y_0^2-b^2)=0$
> $2$a^4x_0^2m^4-2a^4x_0y_0m^3-a^4y_0^2m^2-a^4x_0^2m^4$
> 　 $2$+2a^4x_0y_0m^3-a^4(y_0^2-b^2)m^2-a^2b^2x_0^2m^2$
> 　　 $2$+2a^2b^2x_0y_0m-a^2b^2(y_0^2-b^2)=0$
> $2$a^2b^2(a^2-x_0^2)m^2+2a^2b^2x_0y_0m-a^2b^2(y_0^2-b^2)=0$
> $2$(a^2-x_0^2)+2x_0y_0m-(y_0^2-b^2)=0$
> 傾きの積が-1より，解と係数の関係から，
いまひとつよくわかりません。解と係数の関係ってどこの二次方程式からだしてきたんですか？
> $2$\frac{y_0^2-b^2}{a^2-x_0^2}=1$
ここって1→-1ですか？
> $2$x_0^2+y_0^2=a^2+b^2$
> よって，準円の方程式は，
> $2$x^2+y^2=a^2+b^2$
> である．■
> 返信ありがとうございます。

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■10560 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 楕円に関する問題

▲▼■

□投稿者/ Mst 一般人(3回)-(2006/04/01(Sat) 06:47:25)

あと、関係ない話なんですが∫記号をTEX入力で書きたいんですけど、
どうすればいいんですか？文字化けしちゃうんです。

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■10565 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 楕円に関する問題

▲▼■

□投稿者/ せら一般人(35回)-(2006/04/01(Sat) 09:10:25)

■No10560に返信(Mstさんの記事)
> あと、関係ない話なんですが∫記号をTEX入力で書きたいんですけど、
> どうすればいいんですか？文字化けしちゃうんです。

「∫」は日本語環境の文字ですので，化けると思います。
例えば

$2$ \displaystyle\int_{0}^{1} \sin x dx$

など。（引用返信するとソースが確認できると思います）

TeX記法については，Ｗｅｂ上にもいろいろコマンド表がありますので，参考にするとよいでしょう。

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■10580 / inTopicNo.6)

　Re[3]: 楕円に関する問題

▲▼■

□投稿者/ リストっち大御所(254回)-(2006/04/01(Sat) 15:55:25)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

2006/04/02(Sun) 00:04:43 編集(投稿者)

■No10558に返信(Mstさんの記事)
> ■No10547に返信(リストっちさんの記事)
>>■No10546に返信(Mstさんの記事)
> >>楕円 $2$x^2/17+y^2/8=1$ の外部にある点Pから2本の接線を引くとき、
> >>この2本が直交するときの点Pの軌跡を求めよ。
> >>
> >>：円 $2$x^2+y^2=a^2+b^2$ になると考えたのですが、証明ができません。
> >>教えてください。
>>
>>楕円 $2$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 外の点P( $2$x_0$ , $2$y_0$ )から引いた2つの接線が直交するような点Pの軌跡とします．
>>
>>接線の傾きをmとすると，接線の方程式は， $2$y=m(x-x_0)+y_0$ だから，楕円との
> 交点について，
> 傾きが0の場合ってないんですか？
傾きが0の場合は，点(0,±b)における接線ですね．之に垂直な接線は，(±a,0)における接線なので，交点P(±a,±b)（複号任意）となって全て円x^2+y^2=a^2+b^2上にありますね．
ほかでは，m≠0とします．
>> $2$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(m(x-x_0)+y_0)^2}{b^2}=1$
>> $2$b^2x^2+a^2(mx-mx_0+y_0)^2=a^2b^2$
>> $2$(a^2m+b^2)x^2-2a^2m(mx_0-y_0)x+a^2(mx_0-y_0)^2-a^2b^2=0$
>>接するので，重解を持つ．判別式Dについて，
>> $2$\frac{D}{4}=a^4m^2(mx_0-y_0)^2-a^2(a^2m^2+b^2)((mx_0-y_0)^2-b^2)$
>> $2$=a^4m^2(x_0^2m^2-2x_0y_0m+y_0^2)$
>>　 $2$-(a^4m^2+a^2b^2)(x_0^2m^2-2x_0y_0m+y_0^2-b^2)=0$
>> $2$a^4x_0^2m^4-2a^4x_0y_0m^3-a^4y_0^2m^2-a^4x_0^2m^4$
>>　 $2$+2a^4x_0y_0m^3-a^4(y_0^2-b^2)m^2-a^2b^2x_0^2m^2$
>>　　 $2$+2a^2b^2x_0y_0m-a^2b^2(y_0^2-b^2)=0$
>> $2$a^2b^2(a^2-x_0^2)m^2+2a^2b^2x_0y_0m-a^2b^2(y_0^2-b^2)=0$
>> $2$(a^2-x_0^2)+2x_0y_0m-(y_0^2-b^2)=0$ 　・・・★
>>傾きの積が-1より，解と係数の関係から，
> いまひとつよくわかりません。解と係数の関係ってどこの二次方程式からだしてきたんですか？
　何かぬけていると思ったら，m^2を書き忘れていました．★の部分はmの2次方程式
$2$(a^2-x_0^2)m^2+2x_0y_0m-(y_0^2-b^2)=0$ です．直交するから，傾きの積は-1．2解の積が-1なので，解と係数の関係から，下のことが導かれます．
>> $2$\frac{y_0^2-b^2}{a^2-x_0^2}=1$
> ここって1→-1ですか？
厳密に書くと，
$2$-\frac{y_0^2-b^2}{a^2-x_0^2}=-1$
なので， $2$\frac{y_0^2-b^2}{a^2-x_0^2}=1$
になります．
>> $2$x_0^2+y_0^2=a^2+b^2$
>>よって，準円の方程式は，
>> $2$x^2+y^2=a^2+b^2$
>>である．■
>>返信ありがとうございます。

たぶんこれで間違ってないと思うのですが・・・．

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