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No10547 の記事

■10547 / )

　Re[1]: 楕円に関する問題

□投稿者/ リストっち大御所(252回)-(2006/03/31(Fri) 19:36:10)
http://d.hatena.ne.jp/pro_pitagora/

■No10546に返信(Mstさんの記事)
> 楕円 $2$x^2/17+y^2/8=1$ の外部にある点Pから2本の接線を引くとき、
> この2本が直交するときの点Pの軌跡を求めよ。
>
> ：円 $2$x^2+y^2=a^2+b^2$ になると考えたのですが、証明ができません。
> 教えてください。

楕円 $2$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 外の点P( $2$x_0$ , $2$y_0$ )から引いた2つの接線が直交するような点Pの軌跡とします．

接線の傾きをmとすると，接線の方程式は， $2$y=m(x-x_0)+y_0$ だから，楕円との交点について，
$2$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(m(x-x_0)+y_0)^2}{b^2}=1$
$2$b^2x^2+a^2(mx-mx_0+y_0)^2=a^2b^2$
$2$(a^2m+b^2)x^2-2a^2m(mx_0-y_0)x+a^2(mx_0-y_0)^2-a^2b^2=0$
接するので，重解を持つ．判別式Dについて，
$2$\frac{D}{4}=a^4m^2(mx_0-y_0)^2-a^2(a^2m^2+b^2)((mx_0-y_0)^2-b^2)$
$2$=a^4m^2(x_0^2m^2-2x_0y_0m+y_0^2)$
　 $2$-(a^4m^2+a^2b^2)(x_0^2m^2-2x_0y_0m+y_0^2-b^2)=0$
$2$a^4x_0^2m^4-2a^4x_0y_0m^3-a^4y_0^2m^2-a^4x_0^2m^4$
　 $2$+2a^4x_0y_0m^3-a^4(y_0^2-b^2)m^2-a^2b^2x_0^2m^2$
　　 $2$+2a^2b^2x_0y_0m-a^2b^2(y_0^2-b^2)=0$
$2$a^2b^2(a^2-x_0^2)m^2+2a^2b^2x_0y_0m-a^2b^2(y_0^2-b^2)=0$
$2$(a^2-x_0^2)+2x_0y_0m-(y_0^2-b^2)=0$
傾きの積が-1より，解と係数の関係から，
$2$\frac{y_0^2-b^2}{a^2-x_0^2}=1$
$2$x_0^2+y_0^2=a^2+b^2$
よって，準円の方程式は，
$2$x^2+y^2=a^2+b^2$
である．■

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