| ■No9603に返信(kayoさんの記事) > ■No9595に返信(リストっちさんの記事) >>■No9593に返信(kayoさんの記事) > >>直線l:y=x+aが曲線C:y=x^3ーx^2+1に接しているとき次の問いに答えよ。ただしa=0でないとする。 > >>(1)aの値を求めよ。 > >>(2)曲線Cと接線lの共有点の座標を求めよ。 > >> > >>(1)はa=32/27となり、求めることができたのですが、(2)は答えが2つあり、そのうちの一つは(-1/3,23/27)と求めることが出来たのですが、もう一つの答え(5/3,77/27)をどうやって求めればいいのかわかりません。 > >>わかる方、教えてください。お願いします。 >>(1)aはもうひとつあるはずです. >>Cのx=tにおける接線の傾きは >>y'=3t^2-2tより, >>y'=1とすると, >>3t^2-2t-1=0 >>(3t+1)(t-1)=0 >>t=1 or -1/3 >> >>[甲]t=1のときy=1-1+1=1 >>よって,(1,1)を通るので,a=0 >>[乙]t=-1/3のときy=-1/27-1/9+1=23/27 >>∴23/27=-1/3+a ∴a=32/27とわかります. >>共有点の座標ですが,x座標がわかっているので, >>y=x^3-x^2+1に代入すればy座標が求まります. > > > > 返信ありがとうございます。 > 確かに(1)aの値は2つありますが、問題に「a=0ではない」とあります。 > そのため、y=x^3-x^2+1に代入出来るのは-1/3だけで、そこから求められる答も > (-1/3,23/27)でした。しかし、答えを見ると、もう一つ答えがあり、それが > (5/3,77/27)なのですが、この答えがどうしても求められないのです。 > よろしければもう少しくわしく教えてください。
御免なさい,完全に題意を誤解していました. 上の返信は無視してください. さて,本題ですが, 交点は二つの式を連立方程式として解けばえられますので, {y=x^3-x^2+1 {y=x+32/27 です. yを消去すると, x^3-x^2+1=x+32/27 x^3-x^2-x-5/27=0・・・【1】 ここで,lとCは点(-1/3,23/27)で接するので,【1】は {x+(1/3)}^2で割り切れるはずです.そのことに留意すれば, 左辺=(x+1/3)^2(x-5/3)となることがわかり, (※) x=5/3が求まります.
(※)の部分は組み立て除法などを使って計算すると楽に出来ます(割り切れなければ計算が間違っているとすぐにわかりますし).
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