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\[
TeX形式数式
\]
あるいは,
$
TeX形式数式
$
で数式を記述します。
TeX形式数式には半角英数字のみです。詳しくは、
ここ
を見てください。
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■No50471に返信(らすかるさんの記事) > f(x)=|cosx|, g(x)=|cos2x|, h(x)=|cos4x|とする。 > f(x)の周期はπ、g(x)の周期はπ/2、h(x)の周期はπ/4であり、 > f(π-x)=f(x), g(π-x)=g(x), h(π-x)=h(x)だから、 > 0≦x≦π/2についてf(x)+g(x)+h(x)>1を言えば十分。 > また、g(π/2-x)=g(x), h(π/2-x)=h(x)であり > f(x)は0≦x≦π/2で狭義減少だから、 > π/4≦x≦π/2についてf(x)+g(x)+h(x)>1を言えば十分。 > この範囲の符号はf(x)≧0, g(x)≦0, > π/4≦x<3π/8でh(x)<0, 3π/8≦x≦π/2でh(x)≧0だから > f(x)+g(x)+h(x)は > π/4≦x<3π/8のとき f(x)+g(x)+h(x)=cosx-cos2x-cos4x > 3π/8≦x≦π/2のとき f(x)+g(x)+h(x)=cosx-cos2x+cos4x > cosx=tとおくとcos2x=2t^2-1, cos4x=8t^4-8t^2+1だから > π/4≦x<3π/8のとき f(x)+g(x)+h(x)=-8t^4+6t^2+t > 3π/8≦x≦π/2のとき f(x)+g(x)+h(x)=8t^4-10t^2+t+2 > > π/4≦x<3π/8の場合 > cosxはπ/4≦x<3π/8で減少関数であり > cos(π/4)=√2/2<3/4, cos(3π/8)=√(2-√2)/2>3/8なので3/8<t<3/4 > このとき > f(x)+g(x)+h(x)=-8t^4+6t^2+t > =(3/4-t){8(t-3/8)^3+15(t-3/8)^2+(51/8)(t-3/8)}+(91/64)(t-3/8)+543/512>1 > > 3π/8≦x≦π/2の場合 > cosxは3π/8≦x≦π/2で減少関数であり > cos(3π/8)=√(2-√2)/2<2/5, cos(π/2)=0なので0≦t<2/5 > このとき > f(x)+g(x)+h(x)=8t^4-10t^2+t+2 > =8(2/5-t)^2(5t+4)t/5+(2/5-t)(770t+311)/125+628/625>1 > > 従ってf(x)+g(x)+h(x)>1は常に成り立つ。 > > # もう少しうまい方法がありそうな気がしますが、思いつきませんでした。
File
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.jpg
/
.jpeg
/
.png
/.txt/.lzh/.zip/.mid/.svg
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2) 画像は初期状態で縮小サイズ250×250ピクセル以下で表示されます。
3) 同名ファイルがある、またはファイル名が不適切な場合、
ファイル名が自動変更されます。
4) アップ可能ファイルサイズは1回
200KB
(1KB=1024Bytes)までです。
5) ファイルアップ時はプレビューは利用できません。
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■50472
/ inTopicNo.1)
Re[2]: cosの不等式
▼
■
□投稿者/ 高校数学を忘れた人
一般人(2回)-(2020/08/23(Sun) 15:28:04)
凄過ぎる解答をこんなにも早くありがとうございます。
引用返信
/
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■50471
/ inTopicNo.2)
Re[1]: cosの不等式
▲
▼
■
□投稿者/ らすかる
一般人(8回)-(2020/08/23(Sun) 13:55:27)
f(x)=|cosx|, g(x)=|cos2x|, h(x)=|cos4x|とする。
f(x)の周期はπ、g(x)の周期はπ/2、h(x)の周期はπ/4であり、
f(π-x)=f(x), g(π-x)=g(x), h(π-x)=h(x)だから、
0≦x≦π/2についてf(x)+g(x)+h(x)>1を言えば十分。
また、g(π/2-x)=g(x), h(π/2-x)=h(x)であり
f(x)は0≦x≦π/2で狭義減少だから、
π/4≦x≦π/2についてf(x)+g(x)+h(x)>1を言えば十分。
この範囲の符号はf(x)≧0, g(x)≦0,
π/4≦x<3π/8でh(x)<0, 3π/8≦x≦π/2でh(x)≧0だから
f(x)+g(x)+h(x)は
π/4≦x<3π/8のとき f(x)+g(x)+h(x)=cosx-cos2x-cos4x
3π/8≦x≦π/2のとき f(x)+g(x)+h(x)=cosx-cos2x+cos4x
cosx=tとおくとcos2x=2t^2-1, cos4x=8t^4-8t^2+1だから
π/4≦x<3π/8のとき f(x)+g(x)+h(x)=-8t^4+6t^2+t
3π/8≦x≦π/2のとき f(x)+g(x)+h(x)=8t^4-10t^2+t+2
π/4≦x<3π/8の場合
cosxはπ/4≦x<3π/8で減少関数であり
cos(π/4)=√2/2<3/4, cos(3π/8)=√(2-√2)/2>3/8なので3/8<t<3/4
このとき
f(x)+g(x)+h(x)=-8t^4+6t^2+t
=(3/4-t){8(t-3/8)^3+15(t-3/8)^2+(51/8)(t-3/8)}+(91/64)(t-3/8)+543/512>1
3π/8≦x≦π/2の場合
cosxは3π/8≦x≦π/2で減少関数であり
cos(3π/8)=√(2-√2)/2<2/5, cos(π/2)=0なので0≦t<2/5
このとき
f(x)+g(x)+h(x)=8t^4-10t^2+t+2
=8(2/5-t)^2(5t+4)t/5+(2/5-t)(770t+311)/125+628/625>1
従ってf(x)+g(x)+h(x)>1は常に成り立つ。
# もう少しうまい方法がありそうな気がしますが、思いつきませんでした。
引用返信
/
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■50470
/ inTopicNo.3)
cosの不等式
▲
▼
■
□投稿者/ 高校数学を忘れた人
一般人(1回)-(2020/08/23(Sun) 12:00:02)
xが実数のとき
|cos(x)|+|cos(2x)|+|cos(4x)|>1
ってどうやって証明するのでしょうか?
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