センター試験 2001年度 数学I,数学A
 大学入試問題 最終更新日 2004年3月31日
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出題校:センター試験 2001年度 本試験 数学I・数学A 解答

第1問 (必須問題) (配点 40)

[1]
  a bを実数とし,2次関数

y=4 x 2 8x+5 ・・・・・・
y=2 ( x+a ) 2 +b ・・・・・・

の表す放物線をそれぞれ C 1 C 2 とする。

(1)
  C 1 の頂点と C 2 頂点が一致するとき,

a=アイ b=

である。

(2)
  について, y=17 となる x  の値は, エオ  と   である。
 についても, y=17 となる x  の値が, エオ  と   であるとすると, C 2 は直線 x=  で,頂点の座標

(   ,  クケ )

である。

(3)
  C 1 x  軸方向に c y  軸方向に -4c だけ平行移動したとき, y  軸と点 ( 0,4 ) で交わるならば

c= コサ

である。このとき,移動した放物線を表す2次関数の最小値 の最小値より   だけ大きい。

 

解き方
解答
[2]
赤球3個,青球2個,黄玉1個が入っている袋から玉を1個取り出し,色を確かめてから袋に戻す。このような試行を最大で3回までくり返す。ただし,赤玉を取り出したときは以後の試行を行わない。
(1)
試行が1回または2回で終わる確率は   である。
(2)
試行が1回行われるごとに100円受け取るとする。受け取る金額の期待値は  タチツ  である。
(3)
青玉がちょうど2回取り出される確率は   である。
(4)
黄玉が少なくとも1回取り出される確率は  ナニ ヌネ  である。
解き方
解答

第2問 (必答問題) (配点 40)

[1]
  a  を実数とし, x の整式 A B  を

A= x 3 +5 x 2 + a 2 x+ a 2 6a+20 B= x 3 +( a 2 +5 )x+ a 2 6a+30

とする。このとき

AB=5( x+ )( x )

である。

(1)
  P=x+ とし, A P で割り切れるとする。このとき

a=   ,  A=( x 2 +4x+エオ )P

である。 さらに

B=( x 2 x+カキ )P

であり,A B はともに P で割り切れる。

(2)
  Q=x とすると,A Q で割った余り R

R= ( a1 ) 2 +45

となる。よって,どんな a についても余り R は正となり, A Q で割り切れない。

解き方
解答
[2]
図のように交わる2円O, O がある。この図においてA,Bは2円の交点,Cは直線O O と円 O の交点,Dは直線CBと円Oの交点である。
さらに

sinABC= 2 5 5 ,AB=3,BD= 5

とする。このとき,

cosABD= ,AD=

となり,円Oの半径OAは   である。また円O’の半径 O Aは  タチ  である。さらに2円の中心間の距離は

OO = テト

となる。

解き方
解答

第3問 (選択問題) (配点 20)

(1)
数列 { a n } を次のように定める。

a 1 =2 a 21 =3 a n+2 a n =4     ( n=1,2,3, )

このとき,

a 3 = a 4 = a 5 =ウエ a 6 =オカ

であり, a 40 =キク である。また,

k=1 40 a k =ケコサシ

である。

(2)
数列 { b n } の各項から定数 c を引いて得られる数列は,公比2の等比数列である。 b 3 =7 b 3 =7 であるとき,

c= b 1 =

である。また,

k=1 10 b k =ソタチツ

である。

 
解き方
解答

第4問 (選択問題) (配点 20)

半径1の円Oの直径ABによって分けられる半円周上を動く点Cがある。△ABCの内接円の中心をDとし,線分CDの延長と円Oの交点をEとする。
 次ページの文章中の  アイウ  と  クケコ  もついては,当てはまる文字をA〜Eのうちから選べ。ただし,アとウ,クとコは解答の順序を問わない。  

点Dの軌跡を調べよう。Dは△ABCの内心であるから,

ACD= 1 2 アイウ

であり,∠ABC=∠ACEにより, ACD=エオ °  となる。よって,A,Bが定点であるから,Eは定点であることがわかる。次に△EBDにおいて,

EDB=カキ °+ 1 2 クケコ =EBD

となる。したがって,△EBDは二等辺3角形でED=EBである。これによりDの軌跡はEを中心とした半径 の円弧であることがえわかる。
ABCの内接円の半径を とし,Eからこの内接円に引いた接線の接点とEの距離を とする。 2 = r 2 であるから, ABC=スセ °  のとき は最小となり,そのとき 2 =  である。

解き方
解答

第5問 (選択問題) (配点 20)

[1]
次の流れ図を考える。ただし, N には自然数を入力することにする。  

 

X=2 N=5 のとき,この流れ図にそって計算すると, Y は  アイ  となる。また, X=1 の, N=13 のとき,この流れ図にそって計算すると,処理  YY×Xを代入  は   回実行され,処理  X X 2 を代入  は  は   回実行さる。

[2]
次のプログラムを考える。ただし, N には自然数を入力することにする。また,INT(A)はAをこえない最大の整数を与える関数とする。

100   INPUT "X=";X
110 INPUT "N=";N
120 Y=1
130 X=X*X
140 IF N-2*INT(N/2)=0 THEN GOTO 160
150 Y=Y*X
160 N=INT(N/")
170 IF N=0 THEN GOTO 190
180 GOTO 140
190 PRINT="Y=";Y
200 END

このプログラムを実行し,Xに2,Nに5を入力すると,Y= オカ  と表示される。

[3]
(2)のプログラムを(1)の流れ図の処理を実行するプログラムに書き換えるためには,130行を削除し,   行としてX=X*Xを追加すればよい。だだし,   には次の  のうちから当てはまるものを選べ。

 115  145  155  175

 
解答
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