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■14383

　Re[1]: 複素数

□投稿者/ miyup -(2006/07/06(Thu) 21:25:45)

2006/07/06(Thu) 21:26:24 編集(投稿者)

■No14315に返信(アドルフさんの記事)
> z+(1/z)=1である複素数zに対して
> z^n +{1/z^(n)}の値を求めよ。
> ただし、nは正の整数とする。
>
>
> この問題の答えが
> n>0,m>0として
> n=6mのとき2
> n=6m-5,6m-1のとき1
> n=6m-4,6m-2のとき-1
> n=6m-3のとき-2
> となっているんですが
> これが訳が分かりません。
> どのようにして答えにいたるのか、計算式を教えてもらいたいです。
> できればくわしく答えに至る経緯を教えてほしいです。

$2$z+\frac{1}{z}=1$ より $2$z^2-z+1=0$ よって $2$z=\frac{1\pm\sqrt{3}i}{2}=\cos (\pm 60^{\circ})+i\sin (\pm 60^{\circ})$

このとき $2$z^n+\frac{1}{z^n}=z^n+z^{-n}=\cos (\pm 60^{\circ}n)+i\sin (\pm 60^{\circ}n)+\cos (\mp 60^{\circ}n)+i\sin (\mp 60^{\circ}n)=2\cos (60^{\circ}n)$

$2$n=1,2,3,4,5,6,7,\cdots$ と代入していけば、 $2$n=1$ と $2$n=7$ で同じ値になりますね。

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