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■14147

　定積分を利用

□投稿者/ 梅雄 -(2006/06/28(Wed) 18:18:37)

関数ｆ(ｘ)＝１／ｘの定積分を利用して次の不等式を証明せよ。
1+1/2+1/3+・・・１/ｎ＞log（ｎ+１）

詳しく教えていただけると幸いです。

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■14150

　Re[1]: 定積分を利用

□投稿者/ 平木慎一郎 -(2006/06/28(Wed) 18:57:14)

■No14147に返信(梅雄さんの記事)
> 関数ｆ(ｘ)＝１／ｘの定積分を利用して次の不等式を証明せよ。
> 1+1/2+1/3+・・・１/ｎ＞log（ｎ+１）
>
>
> 詳しく教えていただけると幸いです。
関数 $2$y=\frac{1}{x}$ で区間 $2$[1,n]$ での積分を考えます。
$2$x=n$ でのｙは $2$y=\frac{1}{n}$ です。すると長方形の面積の和で
考えた結果、 $2$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}..........\frac{1}{n-1}$
ですね。これはグラフから $2$y=\frac{1}{x}$ より上にありますので
定積分 $2$\displaystyle \displaystyle\int_1^n{\frac{1}{x}dx=\log n$
の値より大きいです。よって
$2$\log n<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}..........\frac{1}{n-1}$
が言えます。これを利用してください。

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■14155

　Re[1]: 定積分を利用

□投稿者/ 梅雄 -(2006/06/28(Wed) 22:08:32)

1/n > ∫[n,n+1](1/x)dx

よって

1+1/2+1/3+・・・+1/n

∫[1,2](1/x)dx +∫[2,3](1/x)dx +・・・+∫[n,n+1](1/x)dx
　
=∫[1,n+1](1/x)dx

　　　= log（ｎ+１）

でも可ですか？

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