| Qは有理数体、Rは実数体と解釈して回答します。 バックスラッシュは環境依存文字らしいので、差集合はR-Qと表記します。
関数f(x)の定義は x ∈ Qならば、f(x) = (x-2)^2 x ∈ R-Qならば、f(x) = 0 となります。
微分可能である点は連続でなければなりません。
x = aでf(x)が連続であるためには、 ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. (|x-a| < δ) ⇒ (|f(x)-f(a)| < ε) が成立しなければなりません。
しかし、a ∈ Qかつa ≠ 2で、f(a) = (a-2)^2 > εとなるεに対して、 x ∈ R-Qのときはδの値に関わらず、|f(x)-f(a)| = |f(a)| ≧ εとなり、 x ≠ 2でf(x)は連続ではなく微分可能でもないと言えます。
a = 2のときは、x ∈ R-Qのときはεとδの値に関わらず、 |f(x)-f(a)| = 0 < εとなります。 x ∈ Qのときは、|f(x)-f(a)| = (x-2)^2 = |x-2|^2 < εとする為に、 δ < √εと取れば良いです。 よって、x = 2でf(x)は連続と言えます。
微分可能性は、x = aでf'(a)が存在すると仮定すると、 ∀ε > 0, ∃δ > 0 s.t. (|x-a| < δ) ⇒ (|(f(x)-f(a))/(x-a)-f'(a)| < ε) が成立しなければなりません。
a = 2の場合、f'(2)が存在すると仮定すると、 f'(2) = lim[h→0]{(f(2+h)-f(2))/h} h ∈ Qならば、lim[h→0]{(h^2)/h} = 0 h ∈ R-Qならば、lim[h→0]{0/h} = 0 となり、f'(2) = 0であることが必要です。
f'(2) = 0と仮定します。 x ∈ R-Qのときはδの値に関わらず、|f(x)-f(2)| = 0ですので、 |(f(x)-f(2))/(x-2)-f'(2)| = 0 < εが成り立ちます。 x ∈ Qのときは、|f(x)-f(a)| = |x-2|^2より、 |(f(x)-f(2))/(x-2)-f'(2)| = |x-2| < εより、δ < εと取れば良いです。 よって、x = 2でf(x)は微分可能と言えます。
# トマエ関数で検索すると参考になる情報が見られます。
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