| 2023/12/30(Sat) 09:09:48 編集(投稿者)
2AB>(1-cosθ)(OA+OB)⇔2sinθ>(1-cosθ)(sinA+sinB) (∵)正弦定理 ⇔2sin(A+B)>{1+cos(A+B)}(sinA+sinB) (A) ∴(A)を証明します。
((A)の左辺)-((A)の右辺)=2sin(A+B)-{1+cos(A+B)}(sinA+sinB) =2sin(A+B)-4sin{(A+B)/2}cos{(A-B)/2}{cos{(A+B)/2}}^2 ((∵)和積の公式と半角の公式) =2sin(A+B)-2sin(A+B)cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2} =2sin(A+B){1-cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}} (B) ここで 0<A<π,0<B<π,0<θ<π (P) A+B+θ=π (Q) ∴ 0<A+B<π なので sin(A+B)>0 (C) 更に(P)(Q)より 0<(A+B)/2<π/2 -π/2<(A-B)/2<π/2 又、 (A+B)/2=(A-B)/2=0 とはなりえないので cos{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}<1 (D) (C)(D)より (B)>0 よって(A)は成立します。
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