 | 2022/11/02(Wed) 18:30:10 編集(投稿者)
単に計算するだけなら、以下のように左辺の積分を
ガリガリ計算して評価します。
logx=t
と置くと
∫[1→e]{{(logx)/x}^4}dx=∫[0→1](t^4){e^(-3t)}dt
=[-(1/3)(t^4){e^(-3t)}][0→1]+(4/3)∫[0→1](t^3){e^(-3t)}dt
=-1/(3e^3)+(4/3)[-(1/3)(t^3)e^(-3t)][0→1]+(4/3)∫[0→1](t^2){e^(-3t)}dt
=-1/(3e^3)-4/(9e^3)+(4/3)[-(1/3)(t^2)e^(-3t)][0→1]+(8/9)∫[0→1]t{e^(-3t)}dt
=-1/(3e^3)-4/(9e^3)-4/(9e^3)+(8/9)[-(1/3)te^(-3t)][0→1]+(8/27)∫[0→1]{e^(-3t)}dt
=-1/(3e^3)-4/(9e^3)-4/(9e^3)-8/(27e^3)+(8/27)[-(1/3)e^(-3t)][0→1]
=-1/(3e^3)-4/(9e^3)-4/(9e^3)-8/(27e^3)+8/81-8/(81e^3)
=-11/(9e^3)-8/(27e^3)+8/81-8/(81e^3)
=-41/(9e^3)+8/81-8/(81e^3)
=-131/(81e^3)+8/81
=(8e^3-131)/(81e^3)
∴(左辺)-(右辺)=(8e^3-131)/(81e^3)-1/(12e)
=(32e^3-524-27e^2)/(324e^3) (A)
ここで
f(x)=32x^3-524-27x^2
と置くと
f'(x)=96x^2-54x=6x(16x-9)
∴9/16＜xにおいてf'(x)＞0
これと
9/16＜e＜2.8
により
f(e)＜f(2.8)=-484.8＜0
∴(A)=f(e)/(324e^3)＜f(2.8)/(324e^3)＜0
(もっと簡単な方法があるかもしれません。)
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