 | p,q,r,sがすべて奇素数とするとtが(2より大きい)偶数になって不適。
またp,q,r,sのうち2つ以上が2だとするとpq-rsかpr+qsのうち少なくとも一つが
偶数になって不適。従ってp,q,r,sのうちどれか一つだけが2。
pq-rs=pr+qsはp(q-r)=s(q+r),q(p-s)=r(p+s)のように変形できるのでp,qは2ではない。
rとsを入れ替えてpとqを入れ替えても式が成り立つので、
s=2として解を求め、rとs、pとqを交換したものも解とすればよい。
このときpq-2r=pr+2qすなわちp(q-r)=2(q+r)。
q=6m+1かつr=6n+1とするとq-rが3で割り切れq+rが3で割り切れないので不適。
q=6m-1かつr=6n-1のときも同じ。
q=6m+1かつr=6n-1とするとq+rが3で割り切れるがq-rが3で割り切れないので
p=3でなければならない。しかし3(q-r)=2(q+r)とするとr=5qとなり不適。
q=6m-1かつr=6n+1のときも同じ。
従ってqかrのいずれかは6k±1でない奇素数すなわち3でなければならない。
p(q-r)=2(q+r)からq=3とすると左辺が0以下になり不適なので、
r=3でなければならない。
pq-rs=pr+qsにr=3,s=2を代入して整理すると(p-2)(q-3)=12となるので
p=5,q=7と決まり、このときt=29。
rとs、pとqの入れ替えも解なので、条件を満たす解は
(p,q,r,s,t)=(5,7,3,2,29),(7,5,2,3,29)の2組。
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