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y=e^xの法線 /指数関数 (22/03/06(Sun) 01:31) #51817
`└` Re[1]: y=e^xの法線 /らすかる (22/03/06(Sun) 02:06) #51818
`└` Re[2]: y=e^xの法線 /指数関数 (22/03/06(Sun) 08:58) #51819 解決済み!

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■51817 / 親階層)

　y=e^xの法線

□投稿者/ 指数関数一般人(1回)-(2022/03/06(Sun) 01:31:38)

xy平面の曲線y=e^x上の相異なる2点それぞれにおける法線の交点が
y>e^xで表される領域に含まれるか計算で確認しようとしています。

2本の法線の交点のx座標をeの肩に乗せたあたりから
非常に雲行きが怪しくなってくるのですが、
どのように考えるとその後上手くいくか教えて下さい。

よろしくお願いします。

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▲[ 51817 ] / ▼[ 51819 ]

■51818 / 1階層)

　Re[1]: y=e^xの法線

□投稿者/ らすかる一般人(9回)-(2022/03/06(Sun) 02:06:56)

グラフの形とか考えずに、交点の座標をy＞e^xに代入すると
成り立つということを示したいということでしょうか。
それでしたら、
2点を(p,e^p),(q,e^q)（p＜q）とすると
それぞれの法線は
y=-(x-p)/e^p+e^p と y=-(x-q)/e^q+e^q
yを消去して整理すると
x=p-(q-p)e^p/(e^q-e^p)-e^(p+q)
これをy=-(x-p)/e^p+e^pに代入してy座標を求めると
y=(q-p)/(e^q-e^p)+e^p+e^q
つまり交点の座標(x,y)は
(x,y)=(p-(q-p)e^p/(e^q-e^p)-e^(p+q),(q-p)/(e^q-e^p)+e^p+e^q)
(q-p)e^p/(e^q-e^p)＞0, e^(p+q)＞0なので
x=p-(q-p)e^p/(e^q-e^p)-e^(p+q)＜p
よってe^x＜e^p … (1)
また(q-p)/(e^q-e^p)＞0, e^q＞0なので
y=(q-p)/(e^q-e^p)+e^p+e^q＞e^p … (2)
(1)(2)からy＞e^p＞e^xなので、交点はy＞e^xの範囲にある。

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▲[ 51818 ] / 返信無し

■51819 / 2階層)

　Re[2]: y=e^xの法線

□投稿者/ 指数関数一般人(2回)-(2022/03/06(Sun) 08:58:21)

なるほど！！
ありがとうございます！

解決済み!

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