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Nomal 数列の最大項 /まるでお城 (17/05/26(Fri) 16:38) #47996
Nomal Re[1]: 数列の最大項 /WIZ (17/05/26(Fri) 20:09) #47997


親記事 / ▼[ 47997 ]
■47996 / 親階層)  数列の最大項
□投稿者/ まるでお城 一般人(1回)-(2017/05/26(Fri) 16:38:08)
    aを正の数として、数列a[n]を
    a[n]=(a/n)^n (n=1,2,3,...)
    と定めます。
    a[1],a[2],a[3],...,a[n],...
    のうち最大の項はどれですか?
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▲[ 47996 ] / 返信無し
■47997 / 1階層)  Re[1]: 数列の最大項
□投稿者/ WIZ 一般人(9回)-(2017/05/26(Fri) 20:09:22)
    logは自然対数関数を表すものとし、自然対数の底をeとします。

    xを実数として、f(x) = (a/x)^xとおいてx > 0でのf(x)の増減を調べます。
    f(x) > 0ですから、log(f(x)) = x(log(a)-log(x)),
    f'(x)/f(x) = log(a)-log(x)-1 = log(a/(ex)) ⇒ f'(x) = f(x)log(a/(ex))
    1 < a/(ex)つまりx < a/eで、f'(x) > 0なので、f(x)は増加。
    1 = a/(ex)つまりx = a/eで、f'(x) = 0なので、f(x)は極大。
    0 < a/(ex) < 1つまりa/e < xで、f'(x) < 0なので、f(x)は減少。

    よって、a/eに近い整数nでa[n]は最大になると考えられるので、
    n = [a/e]またはn = [a/e]+1のどちらかになると思います。
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