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Nomal 不等式 /ぽむぽむ (17/05/14(Sun) 20:56) #47970
Nomal Re[1]: 不等式 /WIZ (17/05/14(Sun) 23:50) #47973
  └Nomal Re[2]: 不等式 /ぽむぽむ (17/05/15(Mon) 22:04) #47974


親記事 / ▼[ 47973 ]
■47970 / 親階層)  不等式
□投稿者/ ぽむぽむ 一般人(1回)-(2017/05/14(Sun) 20:56:33)
    0<x<π/2のとき1/sin(x)-1/x<1-2/πであることの証明をお願いします
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▲[ 47970 ] / ▼[ 47974 ]
■47973 / 1階層)  Re[1]: 不等式
□投稿者/ WIZ 一般人(6回)-(2017/05/14(Sun) 23:50:07)
    f(x) = 1/sin(x)-1/x とおきます。

    f'(x) = -cos(x)/(sin(x)^2)+1/(x^2) = {(sin(x)^2)-(x^2)cos(x)}/{(x^2)(sin(x)^2)}
    0 < x < π/2の範囲で、f'(x)の分母は正ですから、分子の符号の変化を調べます。

    g(x) = sin(x)^2-(x^2)cos(x)とおきます。

    g'(x) = 2sin(x)cos(x)-2x*cos(x)+(x^2)sin(x) = 2cos(x)(sin(x)-x)+(x^2)sin(x)

    g''(x) = 2(cos(x)^2)-2(sin(x)^2)-2cos(x)+2x*sin(x)+2x*cos(x)+(x^2)cos(x)
    = 2(cos(x)+sin(x))(cos(x)-sin(x)+x)+(x^2)cos(x)

    0 < x < π/2で、0 < cos(x) かつ 0 < sin(x) < x なので、g''(x) > 0 です。
    よって、g'(x)は増加で、g'(0) = 0 なので、0 < x < π/2 で g'(x) > 0 といえます。
    よって、g(x)も増加で、g(0) = 0 なので、0 < x < π/2 で g(x) > 0 といえます。

    以上から、f'(x) > 0 であり、f(x)は増加で、
    0 < x < π/2の範囲のf(x)の値はf(π/2) = 1-2/π未満であるので、
    題意の不等式が成立するといえます。
[ 親 47970 / □ Tree ] 返信/引用返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

▲[ 47973 ] / 返信無し
■47974 / 2階層)  Re[2]: 不等式
□投稿者/ ぽむぽむ 一般人(2回)-(2017/05/15(Mon) 22:04:04)
    有り難うございました!
[ 親 47970 / □ Tree ] 返信/引用返信 [メール受信/OFF] 削除キー/


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