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Nomal 互いに素? /掛け流し (17/02/25(Sat) 09:45) #47882
Nomal Re[1]: 互いに素? /らすかる (17/02/25(Sat) 13:54) #47884
  └Nomal Re[2]: 互いに素? /掛け流し (17/02/25(Sat) 15:23) #47885
    └Nomal Re[3]: 互いに素? /らすかる (17/02/26(Sun) 03:17) #47886
      └Nomal Re[4]: 互いに素? /掛け流し (17/02/26(Sun) 06:40) #47887


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■47882 / 親階層)  互いに素?
□投稿者/ 掛け流し 一般人(1回)-(2017/02/25(Sat) 09:45:12)
    以下、文字は整数とし、xとyの最大公約数を(x,y)と表すこととする。
    互除法の原理
    x,yに対して、y=xq+r(q,rは整数〜必ず存在する)であるとき、(x,y)=(x,r)。
    (q,rの大きさは問わない)
    を利用して、次の2つを証明したいのですが、
    (1) (x,y)=1⇒(xy,x+y)=1
       (証明) xy=(x+y)・1+(xy-x-y)
        x+y=(xy-x-y)+xy
    xy-x-y=xy・1-(x+y)
    であるから、
        (xy,x+y)=(x+y,xy-x-y)=(xy-x-y,xy)=(xy,-(x+y))=1 (証明終)
    (2)(x,y)=1⇒(xy,x^2+y^2)=1
      を上と同様に示したいのですが、うまくいきません。ご教授下さい。


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■47884 / 1階層)  Re[1]: 互いに素?
□投稿者/ らすかる 一般人(6回)-(2017/02/25(Sat) 13:54:14)
    (2)以前に、(1)の証明がおかしいのでは?
    (x,y)=1がどこにも使われていないように見えますし、
    最後の1行も(xy,x+y)=(xy,-(x+y))と言っているだけで
    意味のある計算には思えません。

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■47885 / 2階層)  Re[2]: 互いに素?
□投稿者/ 掛け流し 一般人(2回)-(2017/02/25(Sat) 15:23:35)
    らすかる様 早速のお返事ありがとうございます。
    ご指摘の通り(1)について、全く証明になっていませんでした。
    やはり、背理法を使って以下のようにするしかないのでしょうか?
    (1)の証明
    (xy,x+y)=g(≧2なる素数)とすると、
    xyはgの倍数で、x,yは互いに素ゆえ、xまたはyの一方はgの倍数であるから、
    xをgの倍数として(一般性を失わず)、x=gk(kは整数)とする。
    x+yもgの倍数であるから、x+y=gA(Aは整数)とおくと、y=g(A-k)となり、yもgの倍数となる。これは,x,yが互いに素である事に矛盾する。
    (2)の証明も同じようにやるしかないでしょうか?
    (1)(2)とも、式変形(互除法の原理)を利用してどうにか証明できないものか、と考えているのですが、うまくいかない状態です。アドバイス頂ければ幸いです。

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■47886 / 3階層)  Re[3]: 互いに素?
□投稿者/ らすかる 一般人(7回)-(2017/02/26(Sun) 03:17:38)
    互除法の原理を利用すると
    (1)
    (x,y)=1 から (x,x+y)=1, (y,x+y)=1 (∵互除法の原理から)
    ∴(xy,x+y)=1

    (2)
    (xy,x+y)=1 から (xy,(x+y)^2)=1
    (xy,x^2+y^2+2xy)=1 から (xy,x^2+y^2)=1 (∵互除法の原理から)

    # 両方とも、互除法の原理を使った式変形だけで導くのは
    # 不可能だと思います。
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▲[ 47886 ] / 返信無し
■47887 / 4階層)  Re[4]: 互いに素?
□投稿者/ 掛け流し 一般人(3回)-(2017/02/26(Sun) 06:40:57)
    らすかる様
    素晴らしい解説ありがとうございました。
    よく分かりました。今後とよろしくお願いします。
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