 | ■No9597に返信(ψ君島ψさんの記事)
> 少し長くなりますがご了承ください。
>
> (1)|a+b|≦|a|+|b|を証明せよ
> (|a|+|b|)^2−|a+b|^2
> ＝|a|^2+2|a||b|+|b|^2-(a+b)^2
> ＝a^2+2|ab|+b^2-(a^2+2ab+b^2)
> ＝2(|ab|-ab)≧0
> ゆえに (|a|+|b|)^2≧|a+b|^2
> ここで、|a|+|b|≧0,|a+b|≧0だから
> |a|+|b|≧|a+b|
> 等号は|ab|＝ab,すなわちab≧0のときに成立する。
>
> (2)|a|−|b|≦|a+b|
> (1)が成り立つから、(1)のaにa+b,bに−bを代入して
> |a+b+(−b)|≦|a+b|+|−b|
> ゆえに |a|≦|a+b|+|b|
> ゆえに |a|−|b|≦|a+b|
> 等号は(a+b)(−b)≧0,|a|−|b|≧0より
> ab≦0,|a|≧|b|の時に成立する。
>
> (1)について…どうして、「等号は|ab|＝ab,すなわちab≧0のときに成立する。」となるのでしょうか？
> (2)について…全体的に理解できないのですが、まず「(1)が成り立つから、(1)のaにa+b,bに−bを代入して」が分かりません。
>
> ご教授のほどお願いします。
>
(1) ab<0ならば |ab|=-ab になるからです．絶対値ははずすとき注意しないといけません．|A|=Aは常には成り立ちません．
A≧0のとき |A|=A
A<0のとき |A|=-A
となります．
(2)(1)を証明したということは，a,bに何を入れても(1)の不等式が成立するということです．だから，好きな数を入れてよいのです．だから，aの代わりにa+b，bの代わりに-bを入れてもよいのです．
なお，a=a+bだから，b=0とかb=-bだから，b=0とかそういうことではありませんのでご注意を．
わかりにくければ，a=a'+b' b=-b'としてもよいですね．同じ文字なので混乱したのかもしれません．
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