| ■No9597に返信(ψ君島ψさんの記事) > 少し長くなりますがご了承ください。 > > (1)|a+b|≦|a|+|b|を証明せよ > (|a|+|b|)^2−|a+b|^2 > =|a|^2+2|a||b|+|b|^2-(a+b)^2 > =a^2+2|ab|+b^2-(a^2+2ab+b^2) > =2(|ab|-ab)≧0 > ゆえに (|a|+|b|)^2≧|a+b|^2 > ここで、|a|+|b|≧0,|a+b|≧0だから > |a|+|b|≧|a+b| > 等号は|ab|=ab,すなわちab≧0のときに成立する。 > > (2)|a|−|b|≦|a+b| > (1)が成り立つから、(1)のaにa+b,bに−bを代入して > |a+b+(−b)|≦|a+b|+|−b| > ゆえに |a|≦|a+b|+|b| > ゆえに |a|−|b|≦|a+b| > 等号は(a+b)(−b)≧0,|a|−|b|≧0より > ab≦0,|a|≧|b|の時に成立する。 > > (1)について…どうして、「等号は|ab|=ab,すなわちab≧0のときに成立する。」となるのでしょうか? > (2)について…全体的に理解できないのですが、まず「(1)が成り立つから、(1)のaにa+b,bに−bを代入して」が分かりません。 > > ご教授のほどお願いします。 > (1) ab<0ならば |ab|=-ab になるからです.絶対値ははずすとき注意しないといけません.|A|=Aは常には成り立ちません. A≧0のとき |A|=A A<0のとき |A|=-A となります.
(2)(1)を証明したということは,a,bに何を入れても(1)の不等式が成立するということです.だから,好きな数を入れてよいのです.だから,aの代わりにa+b,bの代わりに-bを入れてもよいのです.
なお,a=a+bだから,b=0とかb=-bだから,b=0とかそういうことではありませんのでご注意を.
わかりにくければ,a=a'+b' b=-b'としてもよいですね.同じ文字なので混乱したのかもしれません.
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