□投稿者/ ψ君島ψ 一般人(1回)-(2006/02/25(Sat) 19:32:17)
 | 少し長くなりますがご了承ください。
(1)|a+b|≦|a|+|b|を証明せよ
(|a|+|b|)^2−|a+b|^2
＝|a|^2+2|a||b|+|b|^2-(a+b)^2
＝a^2+2|ab|+b^2-(a^2+2ab+b^2)
＝2(|ab|-ab)≧0
ゆえに (|a|+|b|)^2≧|a+b|^2
ここで、|a|+|b|≧0,|a+b|≧0だから
|a|+|b|≧|a+b|
等号は|ab|＝ab,すなわちab≧0のときに成立する。
(2)|a|−|b|≦|a+b|
(1)が成り立つから、(1)のaにa+b,bに−bを代入して
|a+b+(−b)|≦|a+b|+|−b|
ゆえに |a|≦|a+b|+|b|
ゆえに |a|−|b|≦|a+b|
等号は(a+b)(−b)≧0,|a|−|b|≧0より
ab≦0,|a|≧|b|の時に成立する。
(1)について…どうして、「等号は|ab|＝ab,すなわちab≧0のときに成立する。」となるのでしょうか？
(2)について…全体的に理解できないのですが、まず「(1)が成り立つから、(1)のaにa+b,bに−bを代入して」が分かりません。
ご教授のほどお願いします。
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